Detail předmětu

Moderní numerické metody

FEKT-MPC-MNMAk. rok: 2026/2027

Předmět se zabývá vybranými numerickými metodami, které slouží k nalezení numerického řešení úlohy, kterou neumíme a nebo nejsme schopni řešit analyticky. Všechny metody jsou korektně zavedeny a ve většině případů i dokázány. Proto se nejdříve věnujeme teorii chyb, jsou zavedeny pojmy metrika a norma a jejich vztahy. Dále se věnujeme Banachově větě o pevném bodu, která je základem řady numerických metod. Vysvětlení jejího působení se provádí na soustavách lineárních algebraických rovnic. Při výkladu se začíná od finitních metod a až na ně navazují iterační metody řešení. Obdobně postupujeme i při hledání řešení nelineárních rovnic, algebraických rovnic a jejich systémů. Dále se zabýváme vlastními čísly matice a hledáním řešení počáteční a okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich systémy a také pro parciální diferenciální rovnice druhého řádu. U každé numerické metody jsou uvedeny podmínky, které garantují konvergenci metody.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

doc. RNDr. Michal Novák, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Vstupní znalosti

Jsou požadovány znalosti na úrovni bakalářského studia, tj. student musí být schopen pracovat s maticemi a vektory, zvládat výpočet determinantů, součinu matic a výpočet matice inverzní, znát grafy elementárních funkcí a způsoby jejich konstrukce, ovládat derivování a integrování základních funkcí, umět řešit základní typy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Studenti mohou získat:
až 40 bodů za počítačová cvičení, které mohou získat za písemný test ( max. 10 bodů) a až 30 bodů za zpracování samostatné úlohy (max. 15 bodů za program a max. 15 bodů za prezentaci a protokol),
až 60 bodů za písemnou semestrální zkoušku. Zadání pro zkoušku obsahuje teoretické i početní úlohy, které slouží pro ověření orientace studenta v problematice numerických metod a jejich použitelnosti. Proto se často vyskytují úkoly typu „upravit do konvergenčního tvaru“, bez nutnosti dopočítávat do konce.

Počítačová cvičení jsou povinná. Řádně omluvenou neúčast lze nahradit zpracováním domácí úlohy, která je zaměřena na problematiku probíranou ve zameškaném cvičení.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Termín konání písemného testu je vyhlašován po dohodě se studenty minimálně týden před jeho konáním. Náhradní termín pro řádně omluvené studenty je obvykle v zápočtovém týdnu.
Cvičení jsou povinná. Řádně omluvená absence může být nahrazena  po domluvě s vyučujícím. O formě a způsobu náhrady rozhoduje výhradně vyučující.
Ke zkoušce je připuštěn každý student, který získá nenulový počet bodů za cvičení.
Pro absolvování předmětu musí student získat minimálně 50 bodů za zkoušku i cvičení.

Učební cíle

Cílem předmětu je rozšířit a prohloubit u studentů základní orientaci v oblasti numerických metod a jejich aplikací pro řešení konkrétních problémů. Proto je velká pozornost věnována odvození některých postupů a metod a ukázkám jednak použití numerických metod a jednak objasnění omezenosti a ohraničenosti použití jednotlivých metod.
Po absolvování kurzu bude student schopen:
• Pracovat s různými maticovými a vektorovými normami a provádět jejich odhady.
• Řešit systémy lineárních algebraických rovnic. Rozhodnout o tom, zda je možné daný systém řešit zadanou metodou.
• Najít kořeny nelineárních a algebraických rovnic s požadovanou přesností.
• Řešit soustavy nelineárních rovnic.
• Určit dominantní vlastní číslo matice.
• Najít všechna vlastní čísla matice. Rozhodnout o vhodnosti zadaného postupu při hledání vlastních čísel.
• Najít numerické řešení počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich systémy s požadovanou přesností.
• Najít numerické řešení parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Umět pracovat s hraničními a vnitřními body systému.
• Vysvětlit podstatu metody konečných prvků a umět pomocí ní řešit úlohy na počítači.
• Zvolit vhodnou metodu pro zadaný typ úlohy a odhadnout rychlost konvergence u vybraných metod.
• Určit odhad přesnosti pro některé metody.

Základní literatura

BAŠTINEC, J.; NOVÁK, M. Moderní numerické metody: sbírka příkladů. Brno: FEKT, VUT v Brně, 2011. (CS)
BAŠTINEC, J., Novák, M.,: Moderní numerické metody.Brno, FEKT VUT, 2014. (CS)

Doporučená literatura

VITÁSEK, E., Numerické metody. SNTL Praha 1987. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program MPC-TIT magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný, základní teoretický předmět profilujícího základu
  • Program MPC-SVE magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný, základní teoretický předmět profilujícího základu
  • Program MPC-NCP magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program MPC-MEL magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný, základní teoretický předmět profilujícího základu
  • Program MPC-EKT magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný, základní teoretický předmět profilujícího základu
  • Program MPC-BTB magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program MPC-BIO magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný, základní teoretický předmět profilujícího základu

  • Program MPC-AUD magisterský navazující

    specializace AUDM-TECH , 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný
    specializace AUDM-ZVUK , 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný

  • Program MPCN-BTB magisterský navazující 2 ročník, letní semestr, povinně volitelný

  • Program MPCN-BIO magisterský navazující

    specializace MPC-BIO_TECH , 2 ročník, letní semestr, povinně volitelný
    specializace MPC-SPORT_TECH , 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Michal Novák, Ph.D.

Osnova

    1. Princip numerických metod, norma, Banachova věta o pevném bodě
    2. Soustavy lineárních algebraických rovnic
    3. Řešení rovnic
    4. Vlastní čísla a vlastní vektory
    5. Soustavy nelineárních rovnic
    6. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic
    7. Řešení soustav ODR
    8. Řešení okrajových úloh pro ODR
    9. Metoda konečných prvků pro ODR
    10. Parciální diferenciální rovnice, klasifikace, transormace
    11. Metoda konečných diferencí pro PDR
    12. Metoda konečných prvků pro PDR

    Cvičení s počítačovou podporou

    26 hod., povinná

    Vyučující / Lektor

    doc. RNDr. Michal Novák, Ph.D.

    Osnova

    1. Princip numerických metod, norma, Banachova věta o pevném bodě
    2. Soustavy lineárních algebraických rovnic
    3. Řešení rovnic
    4. Vlastní čísla a vlastní vektory
    5. Soustavy nelineárních rovnic
    6. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic
    7. Řešení soustav ODR
    8. Řešení okrajových úloh pro ODR
    9. Metoda konečných prvků pro ODR
    10. Parciální diferenciální rovnice, klasifikace, transormace
    11. Metoda konečných diferencí pro PDR
    12. Metoda konečných prvků pro PDR

    Pravidelná individuální příprava na aktivity v semestru

    26 hod., nepovinná

    Vyučující / Lektor

    doc. RNDr. Michal Novák, Ph.D.

    Osnova

    Studenti a studentky se pravidelně připravují na cvičení, aby průběžně zvládli probíranou látku, studují výukové podklady z přednášek a ze cvičení.

    Individuální příprava na závěrečnou zkoušku

    52 hod., nepovinná

    Vyučující / Lektor

    doc. RNDr. Michal Novák, Ph.D.

    Osnova

    Studium výukových podkladů z přednášek a ze cvičení.