Detail předmětu

Matematika III

FSI-3M-AAk. rok: 2026/2027

Předmět má seznámit studenty se základními pojmy a metodami řešení obyčejných diferenciálních rovnic a se základy teorie nekonečných řad. Tyto poznatky tvoří nezbytný teoretický základ pro studium fyzikálních a inženýrských disciplín. Předmět zahrnuje následující témata: Obyčejné diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu.
Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu.
Modelování pomocí diferenciálních rovnic.
Základní numerické metody řešení diferenciálních rovnic s využitím vhodného softwaru (např. Matlab).
Nekonečné řady (číselné i funkční). Mocninné řady.
Taylorovy řady. Fourierovy řady.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

8

Garant předmětu

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Nabízen zahraničním studentům

Všech fakult

Vstupní znalosti

Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkce jedné a více proměnných.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení a plnění všech
podmínek průběžné kontroly znalostí (týká se i počítačových cvičení). Získání minimálně polovičního bodového ohodnocení
z každého ze dvou kontrolních zápočtových testů.

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost
jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení
příkladů. Zkouška má písemnou a ústní část. Písemná zkouška se skládá zejména z početních příkladů týkajících se především následujících témat: Řešení ODR 1. řádu, řešení lineární ODR vyššího řádu, řešení soustavy lineárních ODR 1. řádu, Fourierovy řady, řešení ODR metodou nekonečných řad a pomocí Laplaceovy transformace, okrajové úlohy,  číselné a funkční řady,
aplikace konvergenčních kritérií, rozvoj dané funkce do Taylorovy řady a manipulace s tímto rozvojem. Do písemné části mohou být zařazeny též (teoretické) otázky týkající se základních pojmů.
Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek písemné zkoušky (maximálně 80 bodů) a hodnocení z ústní části (maximálně 20 bodů). Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře
(80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami
řešení obyčejných diferenciálních rovnic a se
základy teorie nekonečných řad. Předmět by měl rovněž ukázat,
poznatky z teorie diferenciálních rovnic hrají významnou roli
ve fyzice a technických vědních oborech, a že základní znalosti
nekonečných řad jsou nezbytným předpokladem při řešení rozličných úloh.
Studenti získají po absolvování předmětu znalosti o základních typech
diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách se seznámí s konstrukcí
diferenciální rovnice jako matematického modelu dané úlohy, s problémy
existence a jednoznačnosti jejího řešení a s výběrem vhodné metody
řešení. Naučí se posuzovat otázky konvergence nekonečných řad
a možnosti rozvojů funkcí v Taylorovy a Fourierovy řady.

Základní literatura

Hartman, P.: Ordinary Differential Equations, New York, 1964.
Boyce, W. E., DiPrima, R. C., Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008. (EN)  (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-STI-A bakalářský 2 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Osnova

- Obyčejné diferenciální rovnice (ODR). Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro ODR 1. řádu.
- Analytické metody řešení vybraných typů ODR 1. řádu.
- ODR vyššího řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Struktura obecného řešení.
- Metody řešení homogenní a nehomogenní lineární ODR vyššího řádu s konstantními koeficienty.
- Soustavy ODR 1. řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy.Struktura obecného řešení.
- Metody řešení homogenních a nehomogenních soustav lineárních ODR 1. řádu s konstantními koeficienty.
- Stabilita. Analýza ve fázovém prostoru.
- Laplaceova transformace a její užití při řešení lineární ODR vyššího řádu.
- Okrajové úlohy pro ODR 2. řádu.
- Úvod do parciálních diferenciálních rovnic.
- Matematické modelování pomocí diferenciálních rovnic.
- Číselné řady. Základní pojmy. Kritéria konvergence. Operace s číselnými řadami.
- Funkční řady. Základní vlastnosti.
- Mocninné řady. Taylorovy řady, rozvoje funkcí v mocninné řady a jejich využití.
- Trigonometrické Fourierovy řady. Otázky konvergence a rozvoje funkcí.

Cvičení

39 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Osnova

- Limity a integrály - opakování.
- Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
- Homogenní a nehomogenní lineární ODR vyššího řádu s konstantními koeficienty.
- Homogenní a nehomogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
- Stabilita.
- Laplaceova transformace při řešení ODR.
- Okrajové úlohy.
- Číselné řady. Kritéria konvergence.
- Funkční a mocninné řady.
- Taylorovy řady.
- Fourierovy řady.

Cvičení s počítačovou podporou

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Osnova

Probíhá na bázi používání vhodného softwaru (např. Matlab) v počítačové učebně. Tento typ výuky je zaměřen na demonstraci užití počítače zejména u numerických metod pro řešení diferenciálních rovnic a souvisejících témat.