Detail předmětu

Matematika III

FSI-3MAk. rok: 2026/2027

Předmět má seznámit studenty se základy teorie nekonečných řad a se základními pojmy a metodami řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Tyto poznatky tvoří nezbytný teoretický základ pro studium fyzikálních a inženýrských disciplín. Předmět zahrnuje následující témata:
Nekonečné řady (číselné i funkční). Mocninné řady.
Taylorovy řady. Fourierovy řady.
Obyčejné diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu.
Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu.
Modelování pomocí diferenciálních rovnic.
Základní numerické metody řešení diferenciálních rovnic s využitím vhodného softwaru (např. Matlab).

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

8

Garant předmětu

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkce jedné a více proměnných.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení a plnění všech
podmínek průběžné kontroly znalostí (týká se i počítačových cvičení). Získání minimálně polovičního bodového ohodnocení
z každého ze dvou kontrolních zápočtových testů.

Zkouška: Zkouška prověřuje jednak znalost pojmů a pochopení základních principů a dále praktickou dovednost při řešení
příkladů. Zkouška má písemnou část, po které následuje případná ústní rozprava. Písemná zkouška se skládá z početních příkladů týkajících se především následujících témat: Řešení ODR 1. řádu, řešení lineární ODR vyššího řádu, řešení soustavy lineárních ODR 1. řádu, Fourierovy řady, řešení ODR metodou nekonečných řad a pomocí Laplaceovy transformace, okrajové úlohy, číselné a funkční řady,
aplikace konvergenčních kritérií, rozvoj dané funkce do Taylorovy řady a manipulace s tímto rozvojem. Menší část písemné zkoušky tvoří teoreticky zaměřené otázky.
Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje zejména výsledek písemné zkoušky, přičemž se může přihlížet i k výsledkům zápočtových testů a k ústní rozpravě.

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy teorie nekonečných řad a základními pojmy a metodami
řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Předmět by měl rovněž ukázat, že
poznatky z teorie diferenciálních rovnic hrají významnou roli
ve fyzice a technických vědních oborech, a že základní znalosti
nekonečných řad jsou nezbytným předpokladem při řešení rozličných úloh.
Studenti získají po absolvování předmětu znalosti o základních typech
diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách se seznámí s konstrukcí
diferenciální rovnice jako matematického modelu dané úlohy, s problémy
existence a jednoznačnosti jejího řešení a s výběrem vhodné metody
řešení. Naučí se posuzovat otázky konvergence nekonečných řad
a možnosti rozvojů funkcí v Taylorovy a Fourierovy řady, včetně jejich aplikací.

Základní literatura

Boyce, W. E., DiPrima, R. C., Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008. (EN) (EN)
Hartman, P.: Ordinary Differential Equations, New York, 1964. (EN)
Kalas, J., Ráb, M: Obyčejné diferenciální rovnice, PřF MU, Brno, 2012. (CS)

Doporučená literatura

Boyce, W. E., DiPrima, R. C., Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008. (EN)
Čermák, J., Nechvátal, L.: Matematika III, Brno, 2016. (CS)
Kalas, J., Ráb, M: Obyčejné diferenciální rovnice, PřF MU, Brno, 2012. (CS)
Logan, J.D.: A First Course in Differential Equations. New York, Springer, 2006. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-MET-P bakalářský 2 ročník, zimní semestr, povinný

  • Program B-ZSI-P bakalářský

    specializace STI , 2 ročník, zimní semestr, povinný
    specializace MTI , 2 ročník, zimní semestr, povinný

  • Program C-AKR-P celoživotní vzdělávání v akr. stud. programu

    specializace CZS , 1 ročník, zimní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Osnova

- Číselné řady. Základní pojmy. Kritéria konvergence. Operace s číselnými řadami.
- Funkční řady. Základní vlastnosti.
- Mocninné řady. Taylorovy řady, rozvoje funkcí v mocninné řady a jejich využití.
- Trigonometrické Fourierovy řady. Otázky konvergence a rozvoje funkcí.
- Obyčejné diferenciální rovnice (ODR). Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro ODR 1. řádu.
- Analytické metody řešení vybraných typů ODR 1. řádu.
- ODR vyššího řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Struktura obecného řešení.
- Metody řešení homogenní a nehomogenní lineární ODR vyššího řádu s konstantními koeficienty.
- Soustavy ODR 1. řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy.Struktura obecného řešení.
- Metody řešení homogenních a nehomogenních soustav lineárních ODR 1. řádu s konstantními koeficienty.
- Stabilita. Analýza ve fázovém prostoru.
- Laplaceova transformace a její užití při řešení lineární ODR vyššího řádu.
- Okrajové úlohy pro ODR 2. řádu.
- Úvod do parciálních diferenciálních rovnic.
- Matematické modelování pomocí diferenciálních rovnic.

Cvičení

39 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Osnova

- Limity a integrály - opakování.
- Číselné řady. Kritéria konvergence.
- Funkční a mocninné řady.
- Taylorovy řady.
- Fourierovy řady.
- Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
- Homogenní a nehomogenní lineární ODR vyššího řádu s konstantními koeficienty.
- Homogenní a nehomogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
- Stabilita.
- Laplaceova transformace při řešení ODR.
- Okrajové úlohy.

Cvičení s počítačovou podporou

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Osnova

Probíhá na bázi používání vhodného softwaru (např. Matlab) v počítačové učebně. Tento typ výuky je zaměřen na demonstraci užití počítače zejména
u numerických metod pro řešení diferenciálních rovnic a též např. u aproximace funkcí pomocí nekonečných řad.