Detail předmětu

Mechanika kontinua

FSI-S1KAk. rok: 2026/2027

V předmětu se studenti stručně seznámí se základními pojmy, zákony a způsoby řešení některých úloh mechaniky kontinua, konkrétně s teorií pružnosti, jako její široké podoblasti. Na začátku kurzu budou definovány pojmy napětí a deformace v bodě kontinua, jejich vlastnosti a zákony, kterými se musí řídit. Bude následovat formulace okrajových úloh pružnosti, podmínky jednoznačnosti jejich řešení a budou formulovány jejich zjednodušené rovinné a jednodimenzionální formy. V této části kurzu se studenti seznámí i s některými klasickými metodami řešení rovinných a jednodimenzionálních okrajových úloh. V druhé polovině kurzu budou představeny pojmy energie a práce v mechanice kontinua, princip jejich virtualizace a následné využití v řešení okrajových úloh pružnosti pomocí variačních metod. Stručný popis teoretických základů teorie pružnosti bude doplněn řešenými příklady z jednodimenzionální a rovinné pružnosti. 

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

doc. Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky (ÚMTMB)

Vstupní znalosti

Z oblasti mechaniky: Znalost základních pojmů pružnosti a pevnosti (napětí, hlavní napětí, deformace, přetvoření, Hookův zákon). Principy virtuálních posunutí a princip virtuálních prací.
Z oblasti matematiky: Parciální diferenciální rovnice 2. řádu. Základy variačního počtu. Základy funkcionální analýzy (funkcionální prostory, Hilbertův prostor L2).

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Požadavky pro zkoušku:
- písemný přehledový test základních znalostí a pojmů
- písemné řešení 3 příkladů
- ústní diskuse nad písemnými materiály s případnou doplňkovou otázkou
Podmínky k udělení zápočtu:
- aktivní účast na cvičeních
- dobré výsledky průběžné kontroly základních znalostí
- vyřešení náhradních úloh v případě omluvené neúčasti
Konkrétní podobu splnění těchto požadavků stanovuje vedoucí cvičení v prvním týdnu semestru
Účast na cvičení je povinná. Vedoucí cvičení provádějí průběžnou kontrolu přítomnosti studentů, jejich aktivity a základních znalostí. Neomluvená neúčast je důvodem k neudělení zápočtu. Jednorázovou neúčast je možno nahradit zadáním náhradních úloh, delší neúčast se nahrazuje vypracováním náhradních úloh podle pokynů cvičícího.

Učební cíle

Cílem předmětu Mechanika kontinua I je seznámit posluchače se základními pojmy a vztahy kontinuální mechaniky pevné fáze a způsoby formulace a řešení okrajových úloh pružných a pružně plastických těles. Vedle klasické formulace úloh je kladen důraz také na variační formulaci problémů v návaznosti na další numerické řešení. Dalším cílem je pochopení základů teorie konečných deformací a konstitutivních rovnic, což skýtá lepší orientaci při aplikaci pokročilých systémů MKP umožňujících modelovat složité děje s uvažováním velkých přetvoření a nelineárních vlastností materiálů.
Studenti získají poznatky o základních metodách stanovení napjatosti a deformace u obecných těles, vycházejících z diferenciálního a variačního přístupu. Poznatky o fyzikální podstatě variační formulace úloh mechaniky kontinua umožňují v návaznosti na předmět Numerické metody III zvolit vhodnou metodiku přípravy numerického výpočtu. Osvojení základů teorie
konstitutivních rovnic vede k dobré orientaci mezi rozličnými materiálovými modely. Důležité jsou rovněž poznatky o negativním vlivu trhlin na životnost těles s trhlinami.

Základní literatura

http://www.old.umt.fme.vutbr.cz/~tprofant/vyuka.html#continuum-mechanics (EN)

Doporučená literatura

Oden, J.T., Mechanics of elastic structures, McGraw-Hill, 1967. (EN)
Hwu, C., Anisotropic elastic plates, Springer, 2010. (EN)
Muskhelishvili, N.I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticity, Springer Dordrecht, 1977. (EN)
Ting, T.C.T., Anisotropic elasticity, Oxford University Press, 1996. (EN)
Reddy, J.N., Energy principles and variational methods in applied mechanics, John Wiley & Sons, 2017. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-MAI-P magisterský navazující 2 ročník, zimní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Osnova

1. Kinetika - napětí v bodě,
2. Kinematika - deformace v bodě.
3. Zákony termodynamiky.
4. Zobecněný Hookův zákon, hustota deformační energie, termoelastické konstitutivní rovnice.
5. Okrajové úlohy mechaniky kontinua, existence a jednoznačnost řešení, rovnice namáhání prutů tahem, ohybem, krutem a rovinná pružnost.
6. Izotropní rovinná pružnost - Muschelišviliho komplexní potenciály, a jejich aplikace v lomové mechanice.
7. Anizotropní rovinná pružnost - LES formalismus, a jeho aplikace v lomové mechanice.
8. Práce a energie, deformační energie a doplňková deformační energie, Hamiltonův princip.
9. Metoda vituálního posunutí, virtuálního zatížení, Castiglianova první a druhá věta, Bettiho a Maxwellovy věty o vzájemnosti prací.
10. Přímé variační metody - Ritzova a Galerikinova metoda.
11.-12. Metoda konečných prvků.
13. Diskuse a závěr semestru.

Cvičení

39 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Osnova

Kinematické veličiny mechaniky kontinua.
Tenzory napětí. Hlavní napětí, invarianty. Bilanční rovnice.
Konstitutivní rovnice v mechanice kontinua. Termodynamické zákony.
Hyperelastický materiál. Neo-Hookeův zákon, Mooney-Rivlinův zákon. Hookeův zákon pro izotropní a anizotropní tělesa.
Vybrané úlohy lineární 3D pružnosti.
Variační metody v teorii malých deformací.
Základní veličiny mechaniky kontinua v křivočarých souřadnicích.
Osově symetrické úlohy lineární pružnosti.
Řešení rovinných úloh pomocí Airyho funkce napětí.
Kruhové a mezikruhové desky.
Momentová válcová skořepina.
Rotačně symetrická membránová skořepina.
Vybrané jednoduché úlohy z teorie plasticity.
Numerické metody v úlohách pružnosti. Zápočet.