Detail předmětu

Základy variačního počtu

FAST-NAB018Ak. rok: 2025/2026

Základy variačních metod, aplikace na řešení diferenciálních rovnic.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Vstupní znalosti

Základní kurzy matematiky v BSP.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Učební cíle

Seznámit studenty se základními pojmy funkcionální analýzy, které jsou potřebné pro pochopení základních principů variačního počtu a numerického řešení počátečních a okrajových úloh.
Studenti získají přehled o pokročilých metodách analýzy (základy funkcionální analýzy, derivace funkcionálu, věty o pevných bodech),
metodách variačního počtu a o některých metodách numerického řešení úloh pro parciální diferenciální rovnice.

Základní literatura

BOUCHALA J.: Variační metody. VŠB-TU Ostrava 2012 (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program NPC-SIV magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Osnova

  • 1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
  • 2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
  • 3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
  • 4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
  • 5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
  • 6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
  • 7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
  • 8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
  • 9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
  • 10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
  • 11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
  • 12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
  • 13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
  • 14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Osnova

Navazuje přímo na jednotlivé přednášky.

  • 1. Lineární metrické, normované a unitární prostory. Věty o pevném bodu.
  • 2. Lineární operátory. Pojem funkcionálu. Speciální prostory funkcí.
  • 3. Diferenciální operátory. Počáteční a okrajové úlohy pro diferenciální rovnice.
  • 4. První derivace funkcionálu. Potenciály některých okrajových úloh. Eulerovy nutné podmínky pro existenci lokálního extrému.
  • 5. Druhá derivace funkcionálu. Lagrangeovy podmínky.
  • 6. Konvexní funkcionály. Silná a slabá konvergence.
  • 7. Klasická, minimizační a variační formulace diferenciálních problémů.
  • 8. Primární, duální a smíšená formulace – příklady z mechaniky stavebních konstrukcí.
  • 9. Numerické řešení počátečních úloh. Diskretizační schémata.
  • 10. Numerické řešení okrajových úloh. Ritzova a Galerkinova metoda.
  • 11. Metoda konečných prvků, srovnání s metodou sítí.
  • 12. Kačanovova metoda, metoda kontrakce, metoda největšího spádu.
  • 13. Numerické řešení obecných evolučních úloh. Plná diskretizace a semidiskretizace. Metoda přímek. Rotheho metoda časové diskretizace.
  • 14. Přehled dalších metod: metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů, bezsíťové přístupy. Variační nerovnosti.