Detail předmětu

Matematika 4

FAST-NAA026Ak. rok: 2022/2023

Funkce komplexní proměnné, limita, spojitost a derivace. Cauchy-Riemannovy podmínky, analytické funkce. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
Rovinné křivky. Prostorové křivky, křivost a torse, Frenetův trojhran, Frenetovy vzorce.
Explicitní, implicitní a parametrické rovnice plochy, první základní forma plochy a její užití. Druhá základní forma plochy, normálová a geodetická křivost plochy. Křivoznačné a asymptotické křivky na ploše, střední a totální křivost plochy, eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Student zvládne hlavní cíle předmětu. Naučí se derivovat funkce komplexní proměnné a pracovat s analytickou funkcí. Seznámí se s konformními zobrazeními realizovanými analytickou funkcí. Naučí se pracovat s prostorovými křivkami, počítat křivost, torsi, Frenetův trojhran. Naučí se používat první i druhou základní formou plochy k řešení úloh diferenciální geometrie. Seznámí se s pojmy normálová a geodetická křivost plochy, křivoznačné a asymptotické křivky na ploše, střední a totální křivost plochy, eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy a naučí se počítat vybrané typy příkladů.

Prerekvizity

Základní znalosti komplexních čísel v rozsahu střední školy.
Znát základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné. Ovládat derivování funkci.
Znát základní pojmy diferenciálního počtu funkce dvou a více proměnných. Umět parciální derivování funkcí více proměnných.

Osnovy výuky

1. Komplexní čísla, základní operace, zobrazení, n-tá odmocnina. Funkce komplexní proměnné.
2. Limita, spojitost, derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky.
3. Analytické funkce. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
4. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí.
5. Křivky v rovině, singulární body křivky.
6. Prostorové křivky, křivost a torse.
7. Frenetův trojhran, Frenetovy vzorce.
8. Explicitní, implicitní a parametrické rovnice plochy.
9. První základní forma plochy a její užití.
10. Druhá základní forma plochy. Normálová a geodetická křivost plochy. Meusnierova věta.
11. Křivoznačné a asymptotické křivky na ploše.
12. Střední a totální křivost plochy.
13. Eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy.

Učební cíle

Pochopit základní pojmy funkce komplexní proměnné. Seznámit se s geometrickým významem pojmů.
Pochopení základních pojmů diferenciální geometrie prostorových křivek a ploch.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

Dlouhý Oldřich, Tryhyk Václav. Matematika IV, Vybrané části funkce komplexní proměnné a diferenciální geometrie, Brno, VUT, FAST, Studijní opora, 2009 (CS)

Doporučená literatura

ERWIN KREYSZIG. Differential geometry. Dover Publications, 1991 (EN)

DIRK J. STRUIK. Lectures on classical differential geometry. Dover Publications, 1988

(EN)
P. FINNIKOV. Differencialnaja geometrija. Moskva, 1961. (RU)

Sushil Shukla, Shikha Tiwari. Functions of Complex Variable: A Textbook of Complex Analysis, ‎ LAP LAMBERT Academic Publishing, 2020

(EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program NPC-GK magisterský navazující, 1. ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc.

Osnova

1. Komplexní čísla, základní operace, zobrazení, n-tá odmocnina. Funkce komplexní proměnné. 2. Limita, spojitost, derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky. 3. Analytické funkce. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí. 4. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí. 5. Křivky v rovině, singulární body křivky. 6. Prostorové křivky, křivost a torse. 7. Frenetův trojhran, Frenetovy vzorce. 8. Explicitní, implicitní a parametrické rovnice plochy. 9. První základní forma plochy a její užití. 10. Druhá základní forma plochy. Normálová a geodetická křivost plochy. Meusnierova věta. 11. Křivoznačné a asymptotické křivky na ploše. 12. Střední a totální křivost plochy. 13. Eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc.

Osnova

1. Komplexní čísla, základní operace, zobrazení, n-tá odmocnina. Funkce komplexní proměnné. 2. Limita, spojitost, derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky. 3. Analytické funkce. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí. 4. Konformní zobrazení realizované analytickou funkcí. 5. Křivky v rovině, singulární body křivky. 6. Prostorové křivky, křivost a torse. 7. Frenetův trojhran, Frenetovy vzorce. 8. Explicitní, implicitní a parametrické rovnice plochy. 9. První základní forma plochy a její užití. 10. Druhá základní forma plochy. Normálová a geodetická křivost plochy. Meusnierova věta. 11. Křivoznačné a asymptotické křivky na ploše. 12. Střední a totální křivost plochy. 13. Eliptické, hyperbolické, parabolické a kruhové body plochy. Zápočty.