Detail předmětu
Moderní matematické metody v informatice
FIT-MIDAk. rok: 2021/2022
Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny, kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru. Částečně a dobře uspořádané množiny, izotonní zobrazení, ordinály. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta. Svazy a svazové homomorfismy. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. Uzávěrové a topologické prostory a jejich využití v informatice (Scottova, Lawsonova a Khalimského topologie).
Okruhy otázek k SDZ:
- Uspořádané množiny (posety) a monotónní zobrazení.
- Axiom výběru a věty s ním ekvivalentní.
- Dualita posetů, dolní množiny a dolní zobrazení, podmínky řetězců.
- Symetrický a tranzitivní obal relace, linearizace uspořádání.
- Dobře uspořádaní množiny, ordinální a kardinální čísla, transfinitní indukce.
- Polosvazy, svazy a úplné svazy.
- Průsekové struktury a uzávěrové operátory.
- Spojově a průsekově ireducibilní prvky svazu, podmínky řetězců a úplnost svazů.
- Ideály a filtry, Dedekind-MacNailleovo zúplnění.
- Modulární a distributivní svazy, Booleovy algebry.
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Výsledky učení předmětu
Studenti získají znalosti o moderních matematických metodách využívaných v informatice a budou tak moci tyto medody aplikovat při práci ve svojí vědecké specializaci.
Absolventi budou schopni při své vědecké činnosti v informatice využívat moderních a efektivních matematických metod.
Prerekvizity
Základní znalosti teorie množin, matematické logiky a obecné algebry.
- doporučená prerekvizita
Doporučená nebo povinná literatura
G. Grätzer, Lattice Theory, Birkhäuser, 2003
K.Denecke and S.L.Wismath, Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science, Chapman & Hall, 2002
G. Grätzer, Universal Algebra, Springer, 2008
P.T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982
N.M. Martin and S. Pollard, Closure Spaces and Logic, Kluwer, 1996
B.A. Davey, H.A. Pristley, Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press, 1990
S. Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008.
V.K.Garg, Introduction to Lattice Theory with Computer Science Applications, Wiley, 2015
T. Y. Kong, Digital topology; in L. S. Davis (ed.), Foundations of Image Understanding, pp. 73-93. Kluwer, 2001
Způsob a kritéria hodnocení
Testy během semestru
Jazyk výuky
čeština, angličtina
Cíl
Cílem předmětu je seznámit studenty s moderními matematickými metodami využívanými v informatice. Jedná se především o metody založené na teorii uspořádaných množin a svazů, algebře a topologii.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Předmět je hodnocen na základě výsledku závěrečné zkoušky, ke složení zkoušky je třeba získat nejméně 50 z celkového počtu 100 bodů.
Zařazení předmětu ve studijních plánech
- Program DIT doktorský, libovolný ročník, zimní semestr, 0 kreditů, povinně volitelný
- Program DIT doktorský, libovolný ročník, zimní semestr, 0 kreditů, povinně volitelný
- Program DIT-EN doktorský, libovolný ročník, zimní semestr, 0 kreditů, povinně volitelný
- Program DIT-EN doktorský, libovolný ročník, zimní semestr, 0 kreditů, povinně volitelný
- Program VTI-DR-4 doktorský
obor DVI4 , libovolný ročník, zimní semestr, 0 kreditů, volitelný
- Program VTI-DR-4 doktorský
obor DVI4 , libovolný ročník, zimní semestr, 0 kreditů, volitelný
- Program VTI-DR-4 doktorský
obor DVI4 , libovolný ročník, zimní semestr, 0 kreditů, volitelný
- Program VTI-DR-4 doktorský
obor DVI4 , libovolný ročník, zimní semestr, 0 kreditů, volitelný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., nepovinná
Vyučující / Lektor
Osnova
- Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny.
- Kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru.
- Částečně a dobře uspořádané množiny, monotonní zobrazení, ordinály.
- Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta.
- Svazy a svazové homomorfismy.
- Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace
- Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice
- Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén.
- Uzávěrové operátory, jejich základní vlastnosti a aplikace v logice.
- Základy topologie: topologické prostory a spojitá zobrazení, oddělovací axiomy.
- Souvislost a kompaktnost v topologických prostorech.
- Speciální topologie v informatice: Scottova a Lawsonova topologie.
- Digitální topologie, Khalimského topologie.