Detail předmětu

Matematické struktury v informatice (v angličtině)

FIT-MATeAk. rok: 2020/2021

Formální teorie, výroková logika, predikátová logika, univerzální algebra, algebraické struktury s jednou a dvěma binárními operacemi, metrické prostory, Banachovy a Hilbertovy prostory, neorientované grafy, orientované grafy.

Výsledky učení předmětu

Studenti prohloubí své znalosti z oblasti matematických struktur, které jsou nejčastěji využívány v informatice. Jedná se o matematickou logiku, algebru, funkcionální analýzu a teorii grafů. To jim pak umožní nejen lépe porozumět teoretickým základům informatiky, ale také se aktivně zapojit do výzkumu v tomto oboru.

Doporučená nebo povinná literatura

Birkhoff, G., MacLane, S.: Aplikovaná algebra, Alfa, Bratislava, 1981 (EN)
Procházka, L.: Algebra, Academia, Praha, 1990 (EN)
Lang, S.: Undergraduate Algebra, Springer-Verlag, New York - Berlin - Heidelberg, 1990, ISBN 038797279 (EN)
Polimeni, A.D., Straight, H.J.: Foundations of Discrete Mathematics, Brooks/Cole Publ. Comp., Pacific Grove, 1990, ISBN 053412402X (EN)
Shoham, Y.: Reasoning about Change, MIT Press, Cambridge, 1988, ISBN 0262192691 (EN)
Van der Waerden, B.L.: Algebra I, II, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1971, Algebra I. ISBN 0387406247, Algebra II. ISBN 0387406255 (EN)
Nerode, A., Shore, R.A.: Logic for Applications, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0387941290 (EN)
Mendelson, E.: Introduction to Mathematical Logic, Chapman Hall, 1997, ISBN 0412808307 (EN)
Cameron, P.J.: Sets, Logic and Categories, Springer-Verlag, 2000, ISBN 1852330562 (EN)
Biggs, N.L.: Discrete Mathematics, Oxford Science Publications, 1999, ISBN 0198534272 (EN)

Způsob a kritéria hodnocení

Půlsemestrální písemný test.

Jazyk výuky

angličtina

Cíl

Cílem předmětu je prohloubit u studentů znalosti základních matematických struktur, které jsou často využívány v různých oblastech informatiky. Vedle základů univerzální algebry a klasických algebraických struktur budou podrobněji vyloženy základy matematické logiky, teorie Banachových a Hilbertových prostorů a teorie neorientovaných i orientovaných grafů.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program IT-MGR-2 magisterský navazující

    obor MGMe , 1. ročník, zimní semestr, 5 kreditů, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

  • Výroková logika, výrokové formule a jejich pravdivost, formální systém výrokové logiky, dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti.
  • Jazyk predikátové logiky (predikáty, kvantifikátory, termy, formule) a jeho realizace, pravdivost a splňování formulí.
  • Formální systém predikátové logiky 1. řádu, věty o korektnosti, úplnosti a kompaktnosti, prenexní tvar formulí. 
  • Univerzální algebry a jejich základní typy: grupoidy, pologrupy, monoidy, grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, svazy a Booleovy svazy.  
  • Základní algebraické metody: podalgebry, homomorfismy a izomorfismy, kongruence a přímé součiny algeber.
  • Relace kongruence na grupách a okruzích, normální podgrupy a ideály.
  • Okruhy polynomů, dělitelnost v oborech integrity, Gaussovy a Eukleidovy okruhy.
  • Teorie polí: minimální pole, rozšíření polí, konečná pole.
  • Metrické prostory, úplnost, Banachova věta o pevném bodě 
  • Normované a Banachovy prostory, unitární a Hilbertovy prostory.
  • Neorientované grafy, stromy a kostry, minimální kostra (Kruskalův a Primův algoritmus).
  • Eulerovské a hamiltonovské grafy, vybarvování uzlů grafu, planarita. 
  • Orientované grafy, orientované eulerovské grafy, cesta minimální délky (Dijkstrův a Floyd-Warshallův algoritmus).