studijní program

Aplikovaná matematika

Fakulta: FSIZkratka: D-APM-PAk. rok: 2021/2022

Typ studijního programu: doktorský

Kód studijního programu: P0541D170030

Udělovaný akademický titul: Ph.D.

Jazyk výuky: čeština

Akreditace: 25.6.2020 - 25.6.2030

Forma studia

Prezenční studium

Standardní doba studia

4 roky

Garant programu

Oborová rada

Oblasti vzdělávání

Oblast Téma Podíl [%]
Matematika Bez tematického okruhu 100

Cíle studia

Doktorský studijní program Aplikovaná matematika významně prohloubí vědomosti studentů získané při studiu navazujícího magisterského studijního programu Matematické inženýrství na FSI VUT v Brně a dalších magisterských programů zaměřených na matematiku a její aplikace. Studenti tohoto doktorského programu mohou získat hluboké znalosti příslušného matematického aparátu ve všech oblastech aplikované matematiky, a to ve vazbě na řešení náročných úloh praxe (především technické). Tomu je také přizpůsobena nabídka odborných předmětů doktorského studijního programu Aplikovaná matematika, zahrnující předměty hlubšího teoretického základu, předměty související s aplikacemi matematiky, a konečně také předměty se speciálním inženýrským zaměřením.
Témata doktorských prací jsou vypisována především pracovníky Ústavu matematiky, přičemž podle povahy tématu mohou být zapojeni i odborníci z dalších ústavů FSI či jiných vědeckých institucí, a to jako školitelé-specialisté. Během svého doktorského studia se studenti stávají členy vědeckých týmů, které vede (nebo v nichž působí) vedoucí jejich práce. Zadané téma doktorské práce je pak obvykle součástí komplexnějšího problému, který tento tým řeší v rámci různých odborných projektů. Studenti se tak postupně naučí všem základním zásadám vědecké práce, především vytváření odborných textů a jejich publikování ve vědeckých časopisech, a prezentaci výsledků své vědecké práce na seminářích či konferencích. Samozřejmostí je přitom spolupráce se zahraničními pracovišti, kde studenti mohou získat další užitečné zkušenosti. Po úspěšném složení předepsané státní doktorské zkoušky, která prověřuje jednak znalosti teoretických základů potřebných ke zvládnutí tématu, ale také stav rozpracovanosti disertační práce a směr výzkumu prováděného v jejím rámci, se studenti zaměřují především na dokončení své práce. Pro její předložení k obhajobě musejí splnit požadavky související především s publikační aktivitou, jejichž smyslem je zajistit, aby disertační práce předložené k obhajobě v tomto studijním programu byly na srovnatelné úrovni s obhájenými pracemi na ostatních matematických pracovištích v ČR i v zahraničí. Po obhájení doktorské práce získávají studenti titul Ph.D.
Hlavním cílem tohoto doktorského studijního programu je vychovat odborníky v oblasti aplikované matematiky, kteří budou schopni pokračovat ve vědecké dráze započaté v rámci svého doktorského studia. Prostředkem k naplnění tohoto cíle je rozšíření vědomostí studentů o netriviální matematické nástroje potřebné pro modelování a řešení problémů praxe, a také prohloubení principů jejich matematického, logického a kritického myšlení.

Profil absolventa

Absolvent získá hluboké odborné znalosti z řady speciálních oblastí moderní aplikované matematiky, se zaměřením na vybrané partie analýzy obrazů, počítačové grafiky, aplikované topologie, 3D rekonstrukce a vizualizace obrazů, spojitých a diskrétních dynamických systémů, a pokročilých statistických metod. Bude mít také vysoký stupeň geometrického vnímání problémů s vazbou na inženýrské aplikace. Získá rovněž kvalitní znalosti z inženýrských disciplín souvisejících s tématem práce, a bude umět pracovat s moderními programovacími nástroji (Python, C++,...). Samozřejmostí je jazykové vybavení umožňující odbornou spolupráci se zahraničními pracovišti a prezentaci získaných výsledků na mezinárodním fóru.

V rámci své odborné způsobilosti absolvent umí vytvářet matematické modely inženýrských úloh a podle jejich charakteru vyhledávat a rozpracovávat vhodné matematické nástroje a postupy pro jejich řešení. Na vysoké úrovni umí používat matematický software a má osvojené programátorské dovednosti. V širším smyslu je absolvent schopen se podílet na řešení náročných úloh v oblasti technické praxe.

Z hlediska obecnějších dovedností je absolvent schopen samostatné tvůrčí vědecké práce. Osvojí si zásady týmové práce na vysoké odborné úrovni. Naučí se tým řídit po stránce odborné i administrativní, bude se orientovat také v projektové problematice. Může působit i jako matematik v multidisciplinárních týmech. Je schopen se na řešení výzkumných problémů nejen podílet, ale umí sám aktuální vědecké problémy vyhledávat a formulovat. Umí výsledky své práce prezentovat, a to jak formou vědeckých publikací, tak formou odborných přednášek.

Absolvent bude mít rozvinutou schopnost analytického myšlení, což mu v kombinaci se znalostí pokročilých metod aplikované matematiky a výpočetních technologií umožní bezproblémové zapojení do vědeckých týmů na různých typech akademických pracovišť, či v aplikační sféře.

Charakteristika profesí

Absolventi nacházejí široké uplatnění na trhu práce pro svoji adaptabilnost, která je umožněna rozsáhlými znalostmi aplikované matematiky. Zájem o tyto absolventy projevují firmy zabývající se vývojem na poli autonomních systémů, robotiky, automatizace či obrazové analýzy, a dále instituce zabývajících se vědou, výzkumem a inovacemi v oblasti informatiky, techniky, řízení kvality, finanční sféře a oblasti zpracování dat. Významné uplatnění nacházejí absolventi tohoto doktorského studijního programu také v akademické sféře. Kromě Ústavu matematiky FSI (mezi jehož zaměstnanci dosahuje podíl absolventů doktorského studijního programu Aplikovaná matematika téměř jedné čtvrtiny) pracují v současné době tito absolventi jako akademičtí pracovníci na dalších ústavech FSI, na dalších fakultách VUT i na dalších vysokých školách. Přetrvávající zájem o tyto absolventy je dán, kromě adaptibility v různých oblastech aplikované matematiky, především jejich vědeckou erudicí (v řadě případů jsou tito absolventi již habilitováni, a ve stále více sledovaných ukazatelích publikační aktivity jsou často na špičce příslušných vzdělávacích institucí).

Podmínky splnění

Studijní povinnosti
1. V souladu s čl. 35 SZŘ probíhá pravidelné hodnocení práce studentů doktorských studijních programů. Hodnocení doktorandů se provádí jednou ročně v následujících termínech:
● Do 31. 8. příslušného roku doktorand zkontroluje a odsouhlasí v IS Apollo formulář „Hodnocení studia“.
● Školitel zkontroluje, doplní slovní vyjádření a odsouhlasí hodnocení do 15. 9. příslušného roku.
● Na studijním oddělení bude provedena formální kontrola úplnosti do 30. 9. příslušného roku. Ředitelé ústavů po případném slovním vyjádření odsouhlasí hodnocení do 15. 10. příslušného roku.
● Hodnocení v oborových radách bude provedeno a vyznačeno v IS Apollo do 31. 10. příslušného roku. Následně studijní oddělení předá hodnocení k podpisu děkanovi (odpovídajícímu proděkanovi). O výsledku bude doktorand i školitel informován.
● Originál hodnocení se ukládá do spisu doktoranda, kopii na vyžádání obdrží školitel i doktorand.
2. Postupová kritéria do následujícího ročníku, platná pro studenty, kteří zahájili studium v akademickém roce 2016/2017 a později, jsou následující:
● postup do 2. ročníku – 2 zkoušky ze studijního předmětu,
● postup do 3. ročníku – všechny zkoušky ze studijních předmětů, včetně zkoušky z cizího jazyka,
● postup do 4. ročníku – podaná „Žádost o povolení státní doktorské zkoušky“, včetně všech požadovaných příloh (viz čl. 39, odst. 3 Studijního a zkušebního řádu VUT). Publikace evidovaná v databázích WoS nebo Scopus nebo článek v recenzovaném časopise nebo článek ve sborníku konference. Téma publikace se musí vztahovat k tématu disertační práce.
Postup do 5. ročníku u studentů kombinované formy studia je možný na základě doporučení školitele. U studentů v prezenční formě studia je nutná žádost o změnu formy studia doporučená školitelem a oborovou radou a publikace evidovaná v databázích WoS nebo Scopus, kde je doktorand uveden jako hlavní autor (stačí potvrzení o přijetí článku). Téma publikace se musí vztahovat k tématu disertační práce.
Postup do 6., 7. a 8. ročníku kombinované formy studia musí být řádně odůvodněn a doložen (např. dlouhodobé zdravotní problémy, péče o dítě, dlouhodobý studijní pobyt v zahraničí).
3. Neplnění výše uvedených kritérií, termínů nebo individuálního studijního plánu je důvodem k ukončení studia pro neplnění studijních povinností (§ 56, odst. 1, písm. b) zákona č. 111/1998 Sb.). O výjimkách rozhoduje s přihlédnutím ke stanovisku oborové rady a školitele děkan, a to na základě zdůvodněné žádosti doktoranda.
4. Doktorandi v prezenční i kombinované formě studia se zapisují do dalšího roku studia na studijním oddělení v prvním týdnu měsíce září.

Vytváření studijních plánů

Pravidla a podmínky pro tvorbu studijních programů určují:
ŘÁD STUDIJNÍCH PROGRAMŮ VUT,
STANDARDY STUDIJNÍCH PROGRAMŮ VUT – Směrnice č. 69/2017,
STUDIJNÍ A ZKUŠEBNÍ ŘÁD VUT,
SMĚRNICE DĚKANA Č. 2/2020 Pravidla pro organizaci studia na fakultě (doplněk Studijního a zkušebního řádu VUT v Brně),
SMĚRNICE DĚKANA FSI Č. 3/2019 Jednací řád oborových rad doktorských studijních programů FSI VUT v Brně.
Studium v DSP se neuskutečňuje v kreditovém systému. Klasifikační stupně jsou „prospěl“, „neprospěl“, u obhajoby disertační práce je výsledek „obhájil“, „neobhájil“.

Dostupnost pro zdravotně postižené

Na VUT jsou zohledněny potřeby rovného přístupu k vysokoškolskému vzdělávání. V přijímacím řízení ani ve studiu nedochází k přímé či nepřímé diskriminaci z žádných důvodů. Studujícím se specifickými vzdělávacími potřebami (poruchy učení, fyzický a smyslový handicap, chronická somatická onemocnění, poruchy autistického spektra, narušené komunikační schopnosti, psychická onemocnění) je poskytováno poradenství v poradenském centru VUT, které je součástí Institutu celoživotního vzdělávání VUT. Podrobně tuto problematiku řeší Směrnice rektora č. 11/2017 „Uchazeči a studenti se specifickými potřebami na VUT“. Rovněž je vytvořen funkční systém sociálních stipendií, který popisuje Směrnice rektora č. 71/2017 „Ubytovací a sociální stipendium“.

Návaznost na další typy studijních programů

Doktorský studijní program Aplikovaná matematika navazuje na navazující magisterský studijní program Matematické inženýrství, který je akreditován (a vyučován) na FSI VUT v Brně.

Vypsaná témata doktorského studijního programu

  1. Analýza dynamických systémů vykazujících chaotické chování

    Některé dynamické systémy vykazují komplikované chování, pro které se vžil termín deterministický chaos. Téma je zaměřeno na analýzu vybraných chaotických modelů (vzhledem k co nejširší množině parametrů systému). Tuto analýzu je možné rozšířit i o modely neceločíselného (zlomkového) řádu.

    Školitel: Nechvátal Luděk, doc. Ing., Ph.D.

  2. Aplikace geometrických algeber v inženýrství

    Geometrické algebry (GA) jsou úspěšně aplikovány v mnoha oblastech teoretických i inženýrských. Ve druhém případě se jedná o analýzu obrazu, počítačové vidění, strojové učení, robotiku, řízení a jiné. Stále se objevují specifické algebry vhodné pro konkrétní oblast, takže kromě standardní konformní GA je zkoumána GA pro kuželosečky nebo naopak projektivní GA pro práci s přímkami a rovinami. Struktura musí být vhodná nejen pro efektivní popis problému, ale musí přinášet i výhody ve snížení výpočetní složitosti a časové náročnosti. Výzkum bude probíhat v týmu s mezinárodní spoluprací a povede ke komplexnímu popisu konkrétní aplikace, vybrané struktury, implementaci a demonstraci vhodnosti zvoleného aparátu.

    Školitel: Vašík Petr, doc. Mgr., Ph.D.

  3. Asymptotika a oscilace nelineárních dynamických rovnic

    Budeme studovat kvalitativní vlastnosti různých typů nelineárních diferenciálních rovnic druhého i vyšších řádů, které se objevují v aplikacích (vč. např. rovnic se (zobecněným) Laplaciánem). Pozornost bude věnována mj. odvozování asymptotických formulí, které výrazně zpřesní informace o chování řešení, či hledání kritérií pro oscilaci. Budeme uvažovat nejen rovnice diferenciální, ale i jejich diskrétní (či časově škálové analogie). To umožní mj. lépe pochopit a vysvětlit podobnosti či nesrovnalosti mezi spojitým případem a jeho nějakou diskretizací, získat rozšíření na nové škály, či obdržet nové výsledky např. v klasickém diskrétním případě prostřednictvím vhodné transformace na jinou časovou škálu.

    Školitel: Řehák Pavel, prof. Mgr., Ph.D.

  4. Funkcionální diferenciální rovnice

    Funkcionální diferenciální rovnice jsou zobecněním obyčejných diferenciálních rovnic. Speciálním případem těchto rovnic jsou rovnice se zpožděným argumentem. Jejich studium je v posledních letech velmi rozšířené. Jedním z důvodů je to, že mohu popsat reálné situace lépe než obyčejné diferenciální rovnice. Kromě rovnice se zpožděním se budeme zabývat také rovnicemi se zrychleným argumentem, které ve známé literatuře tak intenzivně studovány nejsou. Zaměříme se hlavně na analýzu kvalitativních vlastností konkrétních funkcionálních diferenciálních rovnic, které se mohou objevit v reálných modelech. Konkrétně budeme zkoumat oscilatorické vlastnosti řešení uvažovaných rovnic.

    Školitel: Opluštil Zdeněk, doc. Mgr., Ph.D.

  5. Homogenní prostory a foliace z hlediska teorie jetových prostorů a Weilových funktorů a jejich fyzikální aplikace

    Student se bude zabývat studiem homogenních prostorů a foliací, a to zejména v souvislosti s teorií jetových prostorů a Weilových funktorů. Bude si dále všímat aplikací ve fyzice, a to zvláště v teorii částic a teoretické mechanice

    Školitel: Tomáš Jiří, doc. RNDr., Dr.

  6. Identifikace přirozených objektů v mračnech bodů

    Současný rozvoj používání rozšířené reality vede k potřebě nových druhů rychlé a kvalitní detekce ve snímaném obraze (2D i 3D). V současné době se používají standardizované markery, což vede k omezení využití této technologie a k nárokům na přípravu modelů. Pokud je objekt ve snímaném obraze detekován přirozeně, může být přidána informace k jakémukoliv objektu. Disertační práce se bude zabývat vývojem metod pro kvalitní analýzu snímaného mračna bodů a následnou detekci s rozpoznáním objektů.

    Školitel: Procházková Jana, Mgr., Ph.D.

  7. Kvalitativní vlastnosti diskrétních dynamických systémů

    Diskrétní dynamické systémy mají nezastupitelnou úlohu při modelování řady dějů a procesů nejen z technické praxe, kde je nezbytné uvažovat nezávisle proměnnou nikoliv spojitou, ale diskrétní. Tyto systémy vykazují řadu odlišností vůči svým spojitým protějškům. Analýza kvalitativních vlastností, zejména pak stability řešení, má zásadní význam z hlediska predikce chování uvažovaného modelu, případně jeho řízení.

    Školitel: Tomášek Petr, doc. Ing., Ph.D.

  8. Lagrangiány na Weilových bandlech, invarianty a aplikace

    Téma je zaměřeno na problémy variačního počtu na diferencovatelných varietách.Doktorský student naváže na klasifikační výsledky o lagrangiánech a invariantech na bandlech rychlostí a obecněji na Weilových bandlech, bude je dále rozvíjet a interpretovat s důrazem na aplikace, zejména v mechanice.

    Školitel: Kureš Miroslav, doc. RNDr., Ph.D.

  9. Metody numerického zpracování experimentálních dat pro zobrazovací spektroskopickou reflektometrii v rámci optické charakterizace tenkých pevných vrstev

    Obsahem práce je nalézt efektivní výpočetní algoritmy zpracování velkých souborů experimentálních dat získaných zobrazovacím spektroskopickým reflektometrem (postaveným v Laboratoři koherenční optiky ÚFI FSI VUT v Brně) z neuniformních tenkých vrstev pro určení optických parametrů těchto vrstev. Cílem je realizovat výše zmíněné algoritmy ve formě softwaru.

    Školitel: Ohlídal Miloslav, prof. RNDr., CSc.

  10. Modelování evakuace obyvatelstva v rizikových zónách

    S rozvojem průmyslu a výstavbou velkých celků roste potenciální nebezpečí ohrožení obyvatelstva při haváriích. S tím souvisí nutnost vytvořit plány evakuace obyvatelstva v katastrofou postižených oblastech. Obecně se dají rozlišit dva případy, kdy pro evakuaci musí být k dispozici dostatečný počet přepravních prostředků k evakuaci všech obyvatel v co nejkratším čase, v méně kritickém případě je možné obyvatele odvážet postupně s menším počet prostředků. Cílem práce je modelovat operace přepravy při evakuaci a minimalizovat její dokončení při zohlednění všech omezujících podmínek ve vztahu k dané oblasti a míře rizika, např. hustoty obyvatelstva, počtů a kapacity přepravních prostředků, vzdáleností svozových míst apod.

    Školitel: Šeda Miloš, prof. RNDr. Ing., Ph.D.

  11. Moderní metody řešení nelineárních evolučních úloh

    Protože počáteční okrajové úlohy pro evoluční zejména parciální diferenciální rovnice z technické praxe často nemají klasické řešení, byly navrženy různé zobecněné formulace těchto úloh. Cílem práce bude porovnat tyto formulace a zabývat se existencí a jednoznačností jejich řešení. Teorii potom aplikovat na konkrétní úlohy technické praxe, případně provést numerické experimenty.

    Školitel: Franců Jan, prof. RNDr., CSc.

  12. Optimalizace obslužnosti v síťových aplikacích

    V aplikacích, které z obslužných míst rozmístěných v rozlehlé oblasti zajišťující určité služby zákazníků, je typickou úlohou minimalizace těchto míst tak, aby každý zákazník měl alespoň jedno ze středisek v dostupné vzdálenost. Problém pokrytí, na nějž tato úloha vede, má pro množinu složitost O(2^n), kde n je počet daných míst a je nutné jej řešit heuristickými metodami pro "velké" instance problému. Úloha má však ještě složitější formulace, kdy je třeba uvážit i kapacity obslužných míst a požadavky zákazníků. V disertační práce bude cílem aplikovat obecné řešení problému v úlohách komunikace 5G mobilních sítí a ukládání dat v NoSQL databázích.

    Školitel: Šeda Miloš, prof. RNDr. Ing., Ph.D.

  13. Periodická řešení nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu

    Budeme se věnovat otázkám existence periodických řešení obyčejných nelineárních diferenciálních druhého řádu. Zaměříme se zejména na rovnice, které se vyskytují v matematických modelech některých procesů v mechanice. Typickým představitelem takových rovnic je neautonmní Duffingova diferenciální rovnice, kterou získáme například při aproximaci nelinearit v pohybových rovnicích některých buzených oscilátorů.

    Školitel: Šremr Jiří, doc. Ing., Ph.D.

  14. Využití Bayesovského přístupu a dalších vhodných statistických metod k určení trajektorie a detekci cíle

    Téma se bude zabývat nalezením trajektorie rychle se pohybujícího cíle. K tomu se využívají informace o předcházejícím stavu a pravděpodobnosti přechodu do dalšího stavu.

    Školitel: Žák Libor, doc. RNDr., Ph.D.

Struktura předmětů s uvedením ECTS kreditů (studijní plán)

1. ročník, zimní semestr
ZkratkaNázevJ.Kr.Pov.Uk.Hod. rozsahSk.Ot.
9EMMEmpirické modelycs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9FMSFuzzy modely technických procesů a systémůcs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9GTRGeometrická teorie řízenícs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9MKPMKP v inženýrských výpočtechcs (en)0DoporučenýdrzkP - 20ano
9STHStruktura hmotycs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9SLTSturm-Lieouvilleova teoriecs, en (en)0DoporučenýdrzkP - 20ano
9TTDTeorie měření, měřicí techniky a technické diagnostikycs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9TKDZáklady teorie kategoriícs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
1. ročník, letní semestr
ZkratkaNázevJ.Kr.Pov.Uk.Hod. rozsahSk.Ot.
9ARAAlgebry rotací a jejich aplikacecs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9AMKAnalytická mechanika a mechanika kontinuacs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9AHAAplikovaná harmonická analýzacs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9APTAplikovaná topologiecs, en (en)0DoporučenýdrzkP - 20ano
9DVMDynamické a vícerozměrné stochastické modelycs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9FKPFunkce komplexní proměnnécs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9FAPFunkcionální analýza a prostory funkcícs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9FZMFyzikální základy mezních stavů materiálucs (en)0DoporučenýdrzkP - 20ano
9ISYInvarianty a symetriecs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9MORMatematické metody optimálního řízenícs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9MPKMatematické principy kryptografických algoritmůcs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9NMTNelineární mechanika a MKPcs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9PVPProgramování v Pythoncs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9UMSUspořádané množiny a svazycs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
1. ročník, celoroční semestr
ZkratkaNázevJ.Kr.Pov.Uk.Hod. rozsahSk.Ot.
9AJJazyk anglický pro doktorské studiumen0PovinnýdrzkCj - 60ano
9APHAplikovaná hydrodynamikacs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9ARVAutomatizace a řízení výrobních systemůcs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9FLIFluidní inženýrstvícs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9GRAGrafové algoritmycs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9MBOMatematické modelování mechanismů strojůcs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9IDSModelování a řízení dynamických systémůcs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9PARProstředky automatického řízenícs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9VINVýpočetní inteligencecs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano
9VMTVýpočtové modelování turbulentního prouděnícs, en0DoporučenýdrzkP - 20ano