Detail předmětu

Matematika II-B

FSI-BMAk. rok: 2027/2028

Kurz je věnován základům diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných a základům teorie
obyčejných diferenciálních rovnic. Probírají se parciální derivace, diferenciál, extrémy funkcí více proměnných,
implicitní funkce, vícerozměrné integrály a jejich transformace a metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic
a jejich soustav. Významná část kurzu je věnována aplikacím studované látky v technických úlohách. Ve cvičeních
s počítačovou podporou se studenti učí využívat matematický software. Získané znalosti jsou předpokladem pro
studium navazujících odborných předmětů.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

7

Příslušnost k typu studijního programu

bakalářský

Garant předmětu

doc. Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné.

Způsob zakončení předmětu a pravidla hodnocení studentů

Účast na přednáškách je doporučená. Účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Stanovení způsobu nahrazování zameškané výuky ve cvičeních je v kompetenci vedoucího cvičení.

V rámci cvičení jsou zařazeny dvě písemné zápočtové práce. Nutnou podmínkou udělení zápočtu je získání
alespoň poloviny z celkového počtu bodů z každé písemky. V případě, že student nezíská ze zápočtové písemky
alespoň polovinu bodů, má nárok si ji opravit (každou písemku právě jednou).

FORMA ZKOUŠEK:
Zkouška se bude skládat z písemné části, po které může následovat ústní část. Písemná část je hodnocena
maximálně 100 body. Při celkovém hodnocení předmětu může zkoušející zohlednit výsledky zápočtových písemek.

PRŮBĚH ZKOUŠKY:
Rozsah písemné části bude 90 - 120 minut dle náročnosti zadání. Písemná část bude obsahovat nejméně jeden početní příklad z každého z následujících témat:
1. Diferenciální počet funkcí více proměnných
2. Vícerozměrné integrály
3. Diferenciální rovnice

- Součástí písemné části mohou být i teoretické otázky z výše uvedených témat.
- Případná ústní část se zpravidla skládá z teoretických otázek a z diskuse k písemce. Student musí u každého
příkladu umět zdůvodnit svůj postup výpočtu – v opačném případě písemka nebude uznána a bude hodnocena
za nula bodů. Může být zadán doplňující (jednoduchý) příklad, který student okamžitě spočítá.

PRAVIDLA KLASIFIKACE HODNOCENÍ STUDENTA:
0-49 bodů: F
50-59 bodů: E
60-69 bodů: D
70-79 bodů: C
80-89 bodů: B
90-100 bodů: A

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy teorie matematických disciplín uvedených v anotaci kurzu tak, aby byli schopni studovat odborné předměty a řešit příslušné inženýrské problémy. Dalším úkolem předmětu je rozvíjet logické myšlení studentů.
Student získá základní znalosti v matematických disciplinách uvedených v anotaci kurzu, pochopí jejich logickou výstavbu a naučí se řešit matematické úlohy tak, aby byl schopen získané znalosti a dovednosti prokázat při řešení technických problémů. Dále se zdokonalí v používání matematického softwaru, který může sloužit jako nástroj pro výpočty nebo pro grafické výstupy řešených problémů.

Studijní opory

Přednáškové materiály, sbírky řešených příkladů, vzorová zadání zápočtových písemek a zkoušek a návody ke
cvičením s počítačovou podporou jsou k dispozici v e-learningu VUT .

Základní literatura

Hartman, P.: Ordinary Differential Equations. New York: John Wiley & Sons, 1964. (EN)
Kurzweil, J.: Obyčejné diferenciální rovnice, Praha, SNTL, 1978. (CS)
Rektorys K. a spol.: Přehled užité matematiky I,II (SNTL Praha, 1988) (CS)
Sneall D.B. - Hosack J.M.: Calculus, An Integrated Approach (EN)
Thomas G.B. - Finney R.L.: Calculus and Analytic Geometry, 7th edition (EN)

Doporučená literatura

Čermák, J., Nechvátal, L.: Matematika III, Brno, 2016. (CS)
Děmidovič B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy (CS)
Karásek J.: Matematika II (skriptum VUT) (CS)
Thomas G.B., Finney R.L.: Calculus and Analytic Geometry (7th edition) (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-ENE-P bakalářský 1 ročník, letní semestr, povinný, základní teoretický předmět profilujícího základu
  • Program B-PDS-P bakalářský 1 ročník, letní semestr, povinný
  • Program B-PRP-P bakalářský 1 ročník, letní semestr, povinný

  • Program B-STR-P bakalářský

    specializace AIŘ , 1 ročník, letní semestr, povinný, základní teoretický předmět profilujícího základu
    specializace KSB , 1 ročník, letní semestr, povinný, základní teoretický předmět profilujícího základu
    specializace SSZ , 1 ročník, letní semestr, povinný, základní teoretický předmět profilujícího základu
    specializace STG , 1 ročník, letní semestr, povinný, základní teoretický předmět profilujícího základu

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.

Osnova

1. Funkce více proměnných, jejich základní vlastnosti. Limita a spojitost. Parciální derivace.
2. Gradient, směrová derivace, diferenciál, tečná rovina.
3. Taylorův polynom a Taylorova věta. Lokální extrémy.
4. Vázané extrémy (metoda Lagrangeových multiplikátorů), globální extrémy.
5. Implicitní funkce. Vícerozměrné integrály, definice, základní vlastnosti.
6. Fubiniho věta, výpočet integrálů na elementární (normální) oblasti.
7. Transformace vícerozměrných integrálů do polárních a cylindrických souřadnic.
8. Transformace trojných integrálů do sférických souřadnic. Aplikace vícerozměrných integrálů.
9. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR), základní pojmy, existence a jednoznačnost řešení, analytické
metody řešení ODR 1. řádu.
10. ODR vyšších řádů, vlastnosti a metody řešení lineárních ODR vyššího řádu. Soustavy ODR 1. řádu.
11. Vlastnosti a metody řešení lineárních soustav ODR 1. řádu.
12. Aplikace ODR.
13. Okrajový problém pro ODR 2. řádu.

Cvičení

33 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.

Osnova

1. Opakování diferenciálního počtu funkce jedné proměnné - zejména  derivace, neurčité a určité integrály.
2. Funkce více proměnných, definiční obor, limita a spojitost. Parciální derivace.
3. Gradient, směrová derivace, diferenciál, tečná rovina.
4. Taylorův polynom. Lokální extrémy.
5. Vázané extrémy (metoda Lagrangeových multiplikátorů), globální extrémy.
6. Implicitní funkce. Vícerozměrné integrály, základní vlastnosti.
7. Fubiniho věta, výpočet integrálů na elementárních (normálních) oblastech.
8. Transformace vícerozměrných integrálů do polárních a cylindrických souřadnic.
9. Transformace do sférických souřadnic. Aplikace vícerozměrných integrálů.
10. ODR 1. řádu, analytické metody řešení.
11. Lineární ODR vyšších řádů.
12. Lineární soustavy ODR 1. řádu.
13. Aplikace ODR. 

Cvičení s počítačovou podporou

6 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.

Osnova

Počítačová podpora probíhá za použití vhodného matematického softwaru. Procvičovaná témata odpovídají obsahu předmětu.