Detail předmětu

Vybraná témata z obyčejných diferenciálních rovnic

FSI-0DRAk. rok: 2026/2027

Předmět seznámí studenty s pokročilejšími partiemi teorie obyčejných diferenciálních rovnic, které hrají důležitou roli v matematických modelování různých procesů ve fyzice i jiných oborech.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Účast na přednáškách i cvičeních je povinná a kontrolovaná. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.

Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičeních.

Zkouška: Bude probíhat ústní formou, prověřuje znalosti teoretického základu a schopnost jeho využití v konkrétních úlohách (závisí na probraných tématech). Detailní informace budou oznámeny na konci semestru.

Učební cíle

Cíl kurzu: Cílem předmětu je seznámit studenty s pokročilejšími partiemi teorie obyčejných diferenciálních rovnic a diskutovat využití teoretických výsledků v matematickém modelování různých procesů ve fyzice i jiných oborech.

Získané znalosti a dovednosti: Po absolvování studenti budou studenti znát základy vybraných partií obyčejných diferenciálních rovnic, porozumí jejich roli v matematickém modelování vybraných procesů a budou tak schopni jednotlivé modely snáze analyzovat a vyvozovat z nich správné závěry.

Základní literatura

G. N. Watson, A treatise on the Bessel functions, Cambridge University Press, Cambridge, 1966. (EN)
I. Kiguradze, Okrajové úlohy pro systémy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic, Masarykova univerzita, Brno, 1997. (CS)
L. N. Hand, J. D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998. (EN)
M. Levi, Classical mechanics with calculus of variations and optimal control: An intuitive introduction, Student Mathematical Library 69, American Mathematical Society, 2014. (EN)
P. Drábek, G. Holubová, Elements of partial differential equations, Berlin: De Gruyter, 2014. (EN)
P. Hartman, Ordinary differential equations, Philadelphia: SIAM, 2002. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-MAI-P magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Osnova

Podle úrovně znalostí a potřeb přihlášených studentů budou probírána některá z následujících témat:

Metody řešení obyčejných differenciálních rovnic 1. řádu.
Metody řešení lineárních differenciálních rovnic vyšších řádů.
Metody řešení soustav lineárních differenciálních rovnic 1. řádu.
Základy kvalitativní teorie nelineárních soustav ODR (počáteční úloha, existence a jednoznačnost řešení, prodloužitelnost řešení, globální řešení, maximální a minimální řešení, korektnost počáteční úlohy).
Základy teorie okrajových úloh pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic (okrajové podmínky, Fredholmova alternativa, Greenova matice, integrální reprezentace řešení, korektnost).
Sturmovy srovnávací a oddělovací věty pro lineární diferenciální rovnice 2. řádu.
Sturmova-Liouvilleova úloha pro lineární diferenciální rovnice 2. řádu a další spektrální úlohy.
Diskonjugovanost a oscilatoričnost lineárních diferenciálních rovnic 2. řádu.
Besselova rovnice a Besselovy funkce.
Variační principy Lagrangeovské mechaniky.
Matematický pohled na základy Hamiltonovské mechaniky.
Diracova distribuce a její použití.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Osnova

Doplující poznámky a příklady k tématům probíraným na přednáškách.