Detail předmětu

Matematika 4

FAST-BAA004Ak. rok: 2022/2023

Diskrétní a spojitá náhodná veličina a vektor, rozdělovací funkce, pravděpodobnost, distribuční funkce, transformace náhodných veličin, nezávislost náhodných veličin, číselné charakteristiky náhodných veličin a vektorů, speciální zákony rozdělení.
Náhodný výběr, bodový odhad neznámého parametru rozložení a jeho vlastnosti, intervalový odhad parametru rozložení, testování statistických hypotéz, testy o parametrech rozdělení, testy dobré shody, základy regresní analýzy.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

Ing. Jan Holešovský, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Nabízen zahradničním studentům

Všech fakult

Výsledky učení předmětu

Student zvládne řešení jednoduchých praktických pravděpodobnostních problémů a používání základních statistických metod z oblasti itervalových odhadů parametrů, testování parametrických i neparametrických statistických hypotéz a lineárních modelů.

Prerekvizity

Znalost elementárních pojmů teorie funkcí jedné a více reálných proměnných (derivace, parciální derivace, limita a spojitost, grafy funkcí). Schopnost řešit určité integrály, dvojné a trojné integrály a znalost jejich základních aplikací.

Osnovy výuky

1. Diskrétní a spojitá náhodná veličina (náhodný vektor), rozdělovací funkce. Pravděpodobnost.
2. Vlastnosti pravděpodobnosti. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce.
3. Vztahy mezi rozdělovací a distribuční funkcí náhodné veličiny. Marginální náhodný vektor. Nezávislé náhodné veličiny.
4. Číselné charakteristiky náhodných veličin: střední hodnota, rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient, modus, kvantily. Pravidla pro výpočet střední hodnoty a rozptylu.
5. Číselné charakteristiky náhodných vektorů: kovariance, korelační koeficient, kovarianční a korelační matice.
6. Některé zákony diskrétního rozdělení – klasické, alternativní, binomické, Poissonovo, hypergeometrické – definice, použití.
7. Některé zákony spojitého rozdělení – rovnoměrné, exponenciální, normální i vícerozměrné - definice, použití.
8. Chí- kvadrát rozdělení, Studentovo rozdělení – vznik, použití. Náhodný výběr. Výběrové statistiky.
9. Rozdělení výběrových statistik. Bodový odhad parametrů rozdělení. Požadované vlastnosti odhadu.
10. Intervalový odhad parametrů rozdělení.
11. Testování statistických hypotéz - podstata. Testy o parametrech normálního rozdělení. Asymptotický test o
parametru alternativního rozdělení.
12. Testy dobré shody. Chí – kvadrát test. Základní pojmy regresní analýzy.
13. Lineární model.

Učební cíle

Získat přehled o základních vlastnostech pravděpodobnosti a umět řešit jednoduché praktické pravděpodobnostní problémy. Seznámit se se základními statistickými metodami pro itervalové odhady parametrů, testování parametrických i neparametrických statistických hypotéz a lineární model.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

KOUTKOVÁ, H., MOLL, I. Základy pravděpodobnosti. Brno: CERM, 2011.127 s. ISBN 978-80-7204-738-3.   (CS)
KOUTKOVÁ, H. Základy teorie odhadu. Brno: CERM, 2007. 51 s. ISBN 978-80-7204-527-3.   (CS)
KOUTKOVÁ, H. Základy testování hypotéz. Brno: CERM, 2007. 52 s. ISBN 978-80-7204-528-0.  (CS)
KOUTKOVÁ, H., DLOUHY, O. Sbírka příkladů z pravděpodobnosti a matematické statistiky. Brno: CERM, 2011. 63 s. ISBN 978-80-7204-740-6.  (CS)
KOUTKOVÁ, H. Elektronické studijní opory. M03 - Základy teroie odhadu, M04 - Základy testování hypotéz. FAST VUT Brno, 2004. [https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp ]  (CS)

Doporučená literatura

WALPOLE, R.E., MYERS, R.H. Probability and Statistics for Engineers and Scientists. 8th ed. London: Prentice Hall, Pearson education LTD, 2007. 823 p. ISBN 0-13-204767-5.   (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BPC-MI bakalářský, 2. ročník, zimní semestr, povinný
  • Program BPA-SI bakalářský, 3. ročník, zimní semestr, povinný
  • Program BPC-EVB bakalářský, 3. ročník, zimní semestr, povinný
  • Program BKC-SI bakalářský, 3. ročník, zimní semestr, povinný

  • Program BPC-SI bakalářský

    specializace K , 3. ročník, zimní semestr, povinný
    specializace E , 3. ročník, zimní semestr, povinný
    specializace S , 3. ročník, zimní semestr, povinný
    specializace M , 3. ročník, zimní semestr, povinný
    specializace V , 3. ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Ing. Jan Holešovský, Ph.D.

Osnova

  1. Diskrétní a spojitá náhodná veličina (náhodný vektor), rozdělovací funkce. Pravděpodobnost.
  2. Vlastnosti pravděpodobnosti. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce.
  3. Vztahy mezi rozdělovací a distribuční funkcí náhodné veličiny. Marginální náhodný vektor. Nezávislé náhodné veličiny.
  4. Číselné charakteristiky náhodných veličin: střední hodnota, rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient, modus, kvantily. Pravidla pro výpočet střední hodnoty a rozptylu.
  5. Číselné charakteristiky náhodných vektorů: kovariance, korelační koeficient, kovarianční a korelační matice.
  6. Některé zákony diskrétního rozdělení – klasické, alternativní, binomické, Poissonovo, hypergeometrické – definice, použití.
  7. Některé zákony spojitého rozdělení – rovnoměrné, exponenciální, normální i vícerozměrné - definice, použití.
  8. Chí-kvadrát rozdělení, Studentovo rozdělení – vznik, použití. Náhodný výběr. Výběrové statistiky.
  9. Rozdělení výběrových statistik. Bodový odhad parametrů rozdělení. Požadované vlastnosti odhadu.
  10. Intervalový odhad parametrů rozdělení.
  11. Testování statistických hypotéz - podstata. Testy o parametrech normálního rozdělení. Asymptotický test o parametru alternativního rozdělení.
  12. Testy dobré shody. Chí – kvadrát test. Základní pojmy regresní analýzy.
  13. Lineární model.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Ing. Jan Holešovský, Ph.D.

Osnova

  1. Výběrová rozdělovací funkce. Histogram. 
  2. Rozdělovací funkce náhodné veličiny. Pravděpodobnost. 
  3. Distribuční funkce. Vztahy mezi rozdělovací a distribuční funkcí.
  4. Transformace náhodných veličin – pouze na cvičení.
  5. Marginální a simultánní náhodný vektor. Nezávislost náhodných veličin.
  6. Výpočet střední hodnoty, rozptylu, směrodatné odchylky, variačního koeficientu, modu a kvantilů náhodné veličiny. Pravidla pro výpočet střední hodnoty a rozptylu.
  7. Korelační koeficient. Písemka.
  8. Výpočet pravděpodobnosti v případech speciálních zákonů rozdělení pravděpodobnosti - alternativní, binomické, Poissonovo, hypergeometrické.
  9. Výpočet pravděpodobnosti v případě normálního rozdělení. Práce se statistickými tabulkami.
  10. Výpočet realizací výběrových statistik. Aplikační příklady na jejich rozdělení.
  11. Výpočet realizací intervalového odhadu parametrů normálního rozdělení.
  12. Testování hypotéz o hodnotách parametrů normálního rozdělení. Asymptotický test o parametru alternativního rozdělení.
  13. Testy dobré shody. Zápočet.