Detail předmětu

Numerická matematika I

FSI-9NM1Ak. rok: 2021/2022

Úvodní kurz numerických metod se věnuje následujícím tématům: numerické výpočty, přímé a iterační metody řešení lineárních rovnic, interpolace, metoda nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování, nelineární rovnice, výpočet vlastních čísel a vektorů.

Jazyk výuky

čeština, angličtina

Garant předmětu

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Výsledky učení předmětu

Studenti získají základní znalosti z numerických metod lineární algebry, nelineárních rovnic, interpolace, derivování a integrování. To jim umožní, aby si správně vybrali z neobyčejně široké nabídky hotových programů nabízených na trhu (výjimečně aby si takový program sami napsali) a aby tyto programy uměli s rozmyslem a efektivně používat při řešemí svých specifických technických problémů.

Prerekvizity

Lineární algebra, vektorový počet, integrální a diferenciální počet.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.

Způsob a kritéria hodnocení

Zkouška je ústní. U zkoušky jsou položeny tři otázky, jedna otázka z okruhu lineární algebry, druhá z nelineárních rovnic a třetí z okruhu interpolace, derivování a integrování.

Učební cíle

Cílem kurzu je seznámit studenty s numerickými metodami lineární algebry, s řešením nelineárních rovnic a s metodami interpolace, numerického derivování a integrování.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci cvičícího.

Základní literatura

DAHLQUIST, G., BJÖRK, Å. Numerical Methods. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1974.
GOLUB, G. H., VAN LOAN, C. F. Matrix Computations. 3rd ed. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1996.
HEATH, M. T. Scientific Computing. An Introductory Survey. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 2002.
MOLER, C. B. Numerical Computing with Matlab. Philadelphia: SIAM, 2004. 
QUARTERONI, A., SACCO, R., SALERI, F. Numerical Mathematics. New York: Springer-Verlag, 2000.

Doporučená literatura

ČERMÁK, L., HLAVIČKA, R. Numerické metody. Učební text FSI VUT Brno. Brno: CERM, 2016.
ČERMÁK, L. Vybrané statě z numerických metod [online]. Brno: FSI VUT.
HOROVÁ, I., ZELINKA, J. Numerické metody. Učební text Masarykovy univerzity. Brno: MU, 2004.
RALSTON, A. R. Základy numerické matematiky. Praha: Academia, 1973.
REKTORYS, K. Přehled užité matematiky. Praha: Prometheus, 1995.
VITÁSEK, E. Numerické metody. Praha: SNTL, 1987.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D-ENE-P doktorský 1 ročník, zimní semestr, doporučený kurs
  • Program D-ENE-K doktorský 1 ročník, zimní semestr, doporučený kurs

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Osnova

Předmět má 10 dvouhodinových přednášek.
1. Úvod do numerické matematiky: základní vlastnosti matic, chyby, podmíněnost problémů a algoritmů.
2. Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic: Gaussova eliminační metoda, pivotování, LU-rozklad, Choleského rozklad, podmíněnost.
3. Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic: klasické iterační metody (Jacobiova, Gaussova-Seidelova, SOR, SSOR), zobecněná metoda minimálních reziduí, metoda sdružených gradientů.
4. Interpolace: Lagrangeův, Newtonův a Hermitův interpolační polynom, interpolační splajny.
5. Metoda nejmenších čtverců: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených soustav lineárních rovnic (QR rozklad, pseudoinverze, metody ortogonalizace).
6. Numerické derivování: základní formule, Richardsonova extrapolace.
7. Numerické integrování: Newtonovy-Cotesovy formule, Gaussovy formule, adaptivní integrace.
8. Řešení nelineárních rovnic: jedna rovnice (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda sečen, metoda regula falsi, metoda inverzní kvadratické interpolace, Brentova metoda); soustavy nelineárních rovnic (Newtonova metoda a její modifikace, metoda prosté iterace).
9. Vlasní čísla a vlastní vektory: mocninná metoda, QR metoda.
10. Vlasní čísla a vlastní vektory: Arnoldiho metoda, Jacobiho metoda, metoda bisekce, výpočet singulárního rozkladu.