čeština

6

Studenti by po absolvování předmětu měli znát základní pojmy a odpovídající souvislosti, dále pak umět:

- najít a znázornit definiční obor funkce dvou proměnných;
- spočítat parciální derivace libovolného řádu u libovolné (i implicitně zadané) funkce více proměnných;
- najít tečnou rovinu k ploše zadané pomocí funkce dvou proměnných;
- řešit separované a lineární diferenciální rovnice prvního řádu;
- vyřešit klasickým způsobem diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty včetně speciální pravé strany;
- rozložit komplexní funkci na reálnou a imaginární složku a určit funkční hodnoty komplexních funkcí;
- najít druhou složku komplexní holomorfní funkce a určit tuto funkci v komplexní proměnné včetně její derivace;
- spočítat integrál komplexní funkce pomocí parametrizace křivky, Cauchyho věty nebo Cauchyho vzorce;
- najít singulární body komplexní funkce a spočítat jejich rezidua;
- spočítat integrál komplexní funkce pomocí reziduové věty;
- vyřešit pomocí Laplaceovy transformace diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty;
- najít Fourierovu řadu periodické funkce;
- vyřešit pomocí Z-transformace diferenční rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty;
- orientovat se v základních pojmech z teorie signálů a systémů včetně odpovídajících matematických modelů.

Jsou požadovány znalosti na úrovni středoškolského studia a předmětu Matematika 1. K dobrému zvládnutí látky předmětu je zapotřebí umět určovat definiční obory běžných funkcí jedné proměnné, pochopení pojmu limity funkce jedné proměnné, číselné posloupnosti a její limity a řešit konkrétní standardní úlohy. Dále je nutná znalost pravidel pro derivování reálných funkcí jedné proměnné, znalost základních postupů a metod integrování (rozklad na parciální zlomky, integrace per partes, metoda substituce) u neurčitého i určitého integrálu a tyto umět aplikovat na úlohy v rozsahu skript předmětu Matematika 1. Rovněž je požadována znalost nekonečných číselných řad a základních kriterií jejich konvergence, tak i mocninných řad a hledání oborů jejich konvergence.

Metody vyučování zahrnují přednášky, numerická cvičení a cvičení s počítačovou podporou.

Maximum 30 bodů za semestr za tři písemné testy. Podmínkou udělení zápočtu je zisk alespoň 10 bodů ze cvičení.

Podmínkou udělení zkoušky je zisk alespoň 50 bodů z celkových 100 možných (30 lze získat za práci v semestru, 70 lze získat u závěrečné písemné zkoušky).

1. Diferenciální počet reálné funkce více proměnných, limita, spojitost, parciální a směrové derivace, gradient, diferenciál, tečná rovina, funkce zadané implicitně.
2. Obyčejné diferenciální rovnice. Základní pojmy, existence a jednoznačnost řešení diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu, zejména separované a lineární.
3. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty včetně speciální pravé strany.
4. Funkce komplexní proměnné, derivace komplexní funkce, holomorfní funkce.
5. Integrální počet v komplexním oboru, parametrizace křivky. Výpočet integrálu parametrizací křivky a použitím Cauchyho věty a Cauchyho vzorce.
6. Laurentova řada, singulární body a jejich klasifikace, pojem rezidua a výpočet integrálu pomocí reziduové věty.
7. Přímá a zpětná Laplaceova transformace. Gramatika transformace. Využití Laplaceovy transformace při řešení diferenciálních rovnic.
8. Přímá a zpětná Fourierova transformace. Gramatika transformace. Využití transformace.
9. Matematický aparát pro popis signálů. Distribuce, speciální funkce, periodické funkce a Fourierovy řady.
10. Přímá a zpětná Z-transformace. Gramatika transformace. Diferenční rovnice a využití Z-transformace při řešení diferenčních rovnic.
11. Signály a jejich klasifikace. Signály se spojitým časem, periodický a harmonický signál, aperiodické signály, spektrum signálu.
12. Systémy - zavedení pojmu a klasifikace. Matematický model systému se spojitým časem a řešení vstupně-výstupní rovnice Laplaceovou transformací. Impulsní a frekvenční charakteristika.
13. Vazby mezi systémy - sériové, paralelní spojení systémů, zpětná vazba. Stabilita systémů.

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy diferenciálního počtu funkcí více proměnných a s některými obecnými metodami řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Dalším cílem je naučit studenty vhodně používat známe matematické transformace (Laplaceovou, Fourierovou a Z-transformaci) a tím jim dát návod k alternatívnímu způsobu řešení diferenciálních a diferenčních rovnic hojně využívaného právě v technických oborech. Osvojením si základů komplexní analýzy (zejména základních metod integrace v komplexním oboru) získá student dobrý nástroj při řešení některých konkrétních úloh v elektrotechnice. Posledním cílem je vysvětlit základní pojmy z teorie signálů (např. deterministický signál, signál se spojitým časem, diskrétní signál) a systémů, dále popsat matematický model systému se spojitým časem (jakožto modelu vstupně-výstupního) s využitím matematického aparátu vyloženého v předcházejících částech. Tato závěrečná část má připravit studenty ke studiu v navazujících předmětech, které detailněji rozebírají probranou problematiku.

Numerická cvičení a cvičení s počítačovou podporou jsou povinná. Každou neúčast je nutné řádně omluvit a probranou látku dostudovat. Během semestru se píší tři písemné testy o celkovém počtu 30 bodů. Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Svoboda, Z., Vítovec, J.: Matematika 2, FEKT VUT v Brně, 2014, s. 1-189. (CS)
Kolářová, E.: Matematika 2, Sbírka úloh, FEKT VUT v Brně, 2009, s. 1-83. (CS)

4 hod., povinná

Projekty na vybraná témata z aplikované matematiky.