Detail předmětu

Matematika (1)

FAST-0A1Ak. rok: 2020/2021

Lineární algebra (základy maticového počtu, hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, determinanty, inverze matic, řešení systémů lineárních algebraických rovnic).
Základy vektorového počtu. Vlastní čísla a vlastní vektory matice.
Analytická geometrie (skalární, vektorový a smíšený součin vektorů, afinní a metrické úlohy pro lineární útvary v E3).
Reálná funkce jedné reálné proměnné, limita a spojitost funkce(základní definice a vlastnosti), derivace funkce (geometrický a fyzikální význam, technika derivování, základní věty o derivacích, derivace vyšších řádů, průběh funkce, diferenciály funkce, Taylorův rozvoj funkce).
Neurčitý integrál (základní vlastnosti, integrační metody, technika integrování).
Určitý integrál (definice Riemannova integrálu, základní vlastnosti a výpočet). Aplikace integrálního počtu v geometrii a fyzice (obsah rovinného obrazce, délka křivky, objem a povrch rotačního tělesa, statické momenty a těžiště).

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

8

Garant předmětu

doc. RNDr. Václav Tryhuk, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Prerekvizity

Základní znalosti z matematiky v rozsahu střední školy. Grafy základních elementárních funkcí (mocniny a odmocniny, kvadratická funkce, přímá a nepřímá úměra, absolutní hodnota, goniometrické funkce) a základní vlastnosti těchto funkcí. Umět provádět úpravy algebraických výrazů.
Znát pojem geometrického vektoru a základy analytické geometrie ve třírozměrném euklidovském prostoru (parametrické rovnice přímky, obecná rovnice roviny, skalární součin vektorů a jeho použití při řešení metrických a polohových úloh). Umět určovat typy a základní prvky kuželoseček, kreslit jejich grafy.

Osnovy výuky

1. Základy maticového počtu, elementární úpravy matice, hodnost matice. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou. Determinanty druhého a třetího řádu.
2. Determinanty n-tého řádu, rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce. Pravidla pro počítání s determinanty. Cramerovo pravidlo pro řešení systému lineárních algebraických rovnic. Inverzní matice. Jordanova metoda výpočtu.
3. Maticové rovnice. Lineární závislost a nezávislost aritmetických vektorů. Geometrické vektory. Reálný lineární prostor, báze a dimenze lineárního prostoru (např. lineární prostory geometrických vektorů, aritmetických vektorů). Souřadnice vektoru. Skalární a vektorový součin vektorů, počítání v souřadnicích.
4. Smíšený součin vektorů, počítání v souřadnicích. Přímka a rovina v E_3. Úlohy polohy a úlohy metrické.
5. Reálná funkce jedné reálné proměnné, explicitní a parametrické zadání funkce. Základní vlastnosti funkcí. Složená a inverzní funkce. Elementární funkce (také cyklometrické a hyperbolické).
6. Polynom a jeho základní kořenové vlastnosti, rozklad polynomu v komplexním a reálném oboru. Znaménko polynomu. Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercové matice. Racionální funkce, znaménko racionální funkce.
7. Rozklad racionální funkce v parciální zlomky. Limita a spojitost funkce. Základní věty.
8. Rozšíření pojmu limita. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, pravidla pro derivování. Derivace složené a inverzní funkce. Derivace elementárních funkcí. Věty o funkcích spojitých na intervalu.
9. Základní věty diferenciálního počtu (Rolleova, Lagrangeova). Diferenciál funkce. Derivace vyšších řádů . Taylorova věta. Geometrický význam první a druhé derivace funkce pro určování průběhu funkce, l`Hospitalovo pravidlo, asymptoty.
10. Derivace funkce dané parametricky. Pojem neurčitého integrálu a primitivní funkce, základní vlastnosti neurčitého integrálu. Newtonův integrál. Základní integrační vzorce. Integrační metody pro neurčitý integrál.
11. Integrace racionální funkce. Integrace goniometrických funkcí. Integrace vybraných typů iracionálních funkcí.
12. Definice Riemannova integrálu, jeho základní vlastnosti, výpočet užitím Newton-Leibnizova vzorce. Integrační metody pro určitý integrál.
13. Geometrické aplikace určitého integrálu. Fyzikální a technické aplikace určitého integrálu.

Učební cíle

Studenti by měli zvládnout základy nutné k řešení lineárních úloh.
Dále pochopit základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné a geometrické interpretace některých pojmů, pochopit některé aplikace určitého integrálu.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

BUDÍNSKÝ, B. , CHARVÁT, J.: Matematika 1. SNTL 1990
Dlouhý, O., Tryhuk, V.: Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce. FAST - studijní opora v intranetu 2005
Horňáková, D.: Matematika I5. ECON publishing, s.r.o. 2001
Novotný, J.: Matematika I Základy lineární algebry. Akademické nakladatelství CERM, s.r.o. 2004
STEIN, S. K.: Calculus and analytic geometry. New York 1989

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

52 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Václav Tryhuk, CSc.

Osnova

1. Základy maticového počtu, elementární úpravy matice, hodnost matice. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Gaussovou eliminační metodou. Determinanty druhého a třetího řádu. 2. Determinanty n-tého řádu, rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce. Pravidla pro počítání s determinanty. Cramerovo pravidlo pro řešení systému lineárních algebraických rovnic. Inverzní matice. Jordanova metoda výpočtu. 3. Maticové rovnice. Lineární závislost a nezávislost aritmetických vektorů. Geometrické vektory. Reálný lineární prostor, báze a dimenze lineárního prostoru (např. lineární prostory geometrických vektorů, aritmetických vektorů). Souřadnice vektoru. Skalární a vektorový součin vektorů, počítání v souřadnicích. 4. Smíšený součin vektorů, počítání v souřadnicích. Přímka a rovina v E_3. Úlohy polohy a úlohy metrické. 5. Reálná funkce jedné reálné proměnné, explicitní a parametrické zadání funkce. Základní vlastnosti funkcí. Složená a inverzní funkce. Elementární funkce (také cyklometrické a hyperbolické). 6. Polynom a jeho základní kořenové vlastnosti, rozklad polynomu v komplexním a reálném oboru. Znaménko polynomu. Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercové matice. Racionální funkce, znaménko racionální funkce. 7. Rozklad racionální funkce v parciální zlomky. Limita a spojitost funkce. Základní věty. 8. Rozšíření pojmu limita. Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam, pravidla pro derivování. Derivace složené a inverzní funkce. Derivace elementárních funkcí. Věty o funkcích spojitých na intervalu. 9. Základní věty diferenciálního počtu (Rolleova, Lagrangeova). Diferenciál funkce. Derivace vyšších řádů . Taylorova věta. Geometrický význam první a druhé derivace funkce pro určování průběhu funkce, l`Hospitalovo pravidlo, asymptoty. 10. Derivace funkce dané parametricky. Pojem neurčitého integrálu a primitivní funkce, základní vlastnosti neurčitého integrálu. Newtonův integrál. Základní integrační vzorce. Integrační metody pro neurčitý integrál. 11. Integrace racionální funkce. Integrace goniometrických funkcí. Integrace vybraných typů iracionálních funkcí. 12. Definice Riemannova integrálu, jeho základní vlastnosti, výpočet užitím Newton-Leibnizova vzorce. Integrační metody pro určitý integrál. 13. Geometrické aplikace určitého integrálu. Fyzikální a technické aplikace určitého integrálu.

Cvičení

52 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Václav Tryhuk, CSc.