Detail předmětu

Matematika 3

FEKT-BPC-MA3AAk. rok: 2020/2021

Obsahem předmětu jsou základy dvou matematických disciplín: pravděpodobnosti a numerických metod.
Po seznámení se základními pojmy je v pravděpodobnosti hlavní pozornost zaměřena na náhodné veličiny diskrétního a spojitého typu. Závěr kurzu pravděpodobnosti je věnován testování statistických hypotéz.
V části numerické metody se probírá řešení nelineárních rovnic a soustav lineárních rovnic, aproximace funkcí pomocí interpolačního polynomu, splajnu a metodou nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování a nakonec numerické řešení diferenciálních rovnic.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Studenti by po absolvování kursu měli být schopni z oblasti pravděpodobnosti a statistiky:
- vypočítat základní charakteristiky statistického souboru (aritmetický průměr, medián, modus, rozptyl, směrodatná odchylka)
- pro konkrétní zadání vybrat správný model (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost) a vypočítat pravděpodobnost zadaného jevu
- vypočítat podmíněnou pravděpodobnost jevu za dané podmínky
- rozeznat a využít nezávislost jevů při výpočtu pravděpodobnosti
- aplikovat větu o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec
- pracovat s pravděpodobnostní funkcí (u diskrétní náhodné veličiny) a hustotou (u spojité náhodné veličiny) a s distribuční funkcí, určit jednu na základě znalosti druhé
- u jednoduchých příkladů sestavit pravděpodobnostní funkci
- u modelových situací vybrat správný typ pravděpodobnostního rozdělení (binomické, hypergeometrické, exponenciální, apod.) a dále s ním pracovat
- vypočítat střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny a vysvětlit jejich význam
- provádět výpočty s náhodnou veličinou X s normálním rozdělením - určit pravděpodobnost, že je X v daném rozmezí, najít kvantil/y pro zadanou pravděpodobnost
- aproximovat binomické rozdělení pomocí normálního rozdělení
- provést některé jednoduché statistické testy: U-test, test o střední hodnotě při známém rozptylu, test o parametru p binomického rozdělení

Z oblasti numerických metod by absolvent předmětu měl umět:
- najít kořen rovnice f(x)=0 metodou půlení intervalů, Newtonovou metodou, metodou prosté iterace, popsat tyto metody včetně podmínek konvergence
- najít kořen soustavy dvou nelineárních rovnic Newtonovou metodou a metodou prosté iterace
- řešit soustavu lineárních rovnic Gaussovou eliminací s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gauss-Seidelovou iterační metodou a diskutovat výhody a nevýhody těchto metod
- sestavit pro zadané body Lagrangeův nebo Newtonův interpolační polynom a počítat pomocí něj přibližné hodnoty aproximované funkce, případně i její derivace
- aproximovat funkci pomocí splajnu (lineárního nebo kubického)
- funkci zadanou tabulkou bodů aproximovat metodou nejmenších čtverců pomocí přímky, případně paraboly nebo exponenciály
- rozhodnout, zda je vhodnější použít interpolační polynom, splajn, metodu nejmenších čtverců
- vypočítat přibližnou hodnotu 1. nebo 2. derivace zadané funkce v zadaném bodě
- vypočítat přibližnou hodnotu určitého integrálu lichoběžníkovou a Simpsonovou metodou, popsat princip těchto metod, porovnat je z hlediska přesnosti
- najít přibližné řešení diferenciální rovnice na zadaném intervalu Eulerovou metodou, 1. a 2. modifikací Eulerovy metody a metodami Runge-Kutta vyšších řádů

Prerekvizity

Student by měl být schopen aplikovat znalosti z kombinatoriky na úrovni středoškolského studia: umět vysvětlit, co jsou to variace s opakováním a bez opakování, permutace, kombinace, určit jejich počty, provádět výpočty s faktoriály a kombinačními čísly.
Z předmětů AMA1, AMA2 jsou požadovány základní znalosti diferenciálního počtu funkce jedné proměnné a více proměnných a integrálního počtu funkce jedné proměnné. Především by student měl umět kreslit grafy elementárních funkcí, dosadit do funkce, derivovat (včetně parciálních derivací) a integrovat.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování zahrnují přednášky, počítačové cvičení a ostatní aktivity.

Způsob a kritéria hodnocení

Změna hodnocení kvůli omezení v době pandemie: Práce během semestru je hodnocena maximálně 20 body za domácí úkoly odevzdávané do e-learningu. Zápočet dostanou studenti, kteří získají alespoň 10 bodů. Závěrečná písemná zkouška je hodnocena maximálně 80 body.
Zkouška z předmětu bude probíhat distančně. Pokud někdo nemá na distanční zkoušku technické vybavení, je možná domluva na prezenční formě.

Osnovy výuky

1. Základy popisné statistiky.
2. Úvod do pravděpodobnosti, některé pravděpodobnostní modely (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost), podmíněná pravděpodobnost, závislost a nezávislost náhodných jevů, úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec.
3. Diskrétní náhodné veličiny (pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, střední hodnota rozptyl).
4. Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (binomické, geometrické, hypergeometrické, Poissonovo).
5. Spojité náhodné veličiny (hustota, distribuční funkce, střední hodnota, rozptyl, kvantily). Exponenciální rozdělení.
6. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Aproximace binomického rozdělení normálním.
7. Úvod do statistiky. U-test. Test střední hodnoty průměru z normálního rozdělení při známém rozptylu.
8. Úvod do numerických metod. Numerické řešení nelineárních rovnic (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda prosté iterace)
9. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic. Soustavy lineárních rovnic (Gaussova eliminace s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gaussova-Seidelova iterační metoda).
10. Interpolace: interpolační polynom (Lagrangeův a Newtonův), splajny (lineární a kubický)
11. Metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování.
12. Numerická integrace (lichoběžníková a Simpsonova metoda).
13. Numerické řešení diferenciálních rovnic: počáteční úlohy (Eulerova metoda a její modifikace, metody Runge-Kutta), okrajové úlohy (pouze informativně).

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy dvou odlišných matematických disciplín: numerických metod a pravděpodobnosti a statistiky.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

Fajmon, B., Hlavičková, I., Novák, M. Matematika 3. Elektronický text FEKT VUT, Brno, 2013 (CS)

Doporučená literatura

Hlavičková, I., Hliněná, D. Matematika 3 - Sbírka úloh z pravděpodobnosti. Elektronický text FEKT VUT, Brno, 2015 (CS)
Novák, M., Matematika 3 - Sbírka příkladů z numerických metod. Elektronický text FEKT VUT, Brno, 2015 (CS)

eLearning

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BPC-BTB bakalářský, 2. ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Úvod do pravděpodobnosti, některé pravděpodobnostní modely (klasická, diskrétní, geometrická pravděpodobnost), podmíněná pravděpodobnost, závislost a nezávislost náhodných jevů.
2. Diskrétní náhodné veličiny (pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, střední hodnota rozptyl).
3. Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (binomické, geometrické, hypergeometrické, Poissonovo).
4. Spojité náhodné veličiny (hustota, distribuční funkce, střední hodnota, rozptyl, kvantily). Exponenciální rozdělení.
5. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Aproximace binomického rozdělení normálním.
6. Úvod do statistiky. U-test. Test střední hodnoty průměru z normálního rozdělení při známém rozptylu.
7. Úvod do numerických metod. Numerické řešení nelineárních rovnic (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda prosté iterace)
8. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic. Soustavy lineárních rovnic (Gaussova eliminace s výběrem hlavního prvku, Jacobiho a Gaussova-Seidelova iterační metoda).
9. Interpolace: interpolační polynom (Lagrangeův a Newtonův), splajny (lineární a kubický)
10. Metoda nejmenších čtverců. Numerické derivování.
11. Numerická integrace (lichoběžníková a Simpsonova metoda).
12. Numerické řešení diferenciálních rovnic: počáteční úlohy (Eulerova metoda a její modifikace, metody Runge-Kutta), okrajové úlohy (pouze informativně).

Cvičení odborného základu

4 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Cvičení s počítačovou podporou

18 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Kombinatorika, klasická a geometrická pravděpodobnost.
2. Podmíněná pravděpodobnost, úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec.
3. Diskrétní náhodné veličiny, významná diskrétní rozdělení.
4. Spojité náhodné veličiny.
5. Normální rozdělení, aproximace Bi pomocí No.
6. Statistické testy.
7. Separace kořenů, bisekce, metoda prosté iterace, Newtonova metoda.
8. Interpolační polynom, splajn.
9. Metoda nejmenších čtverců.
10. Numerické derivování a integrace.
11. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic - Eulerova metoda, metoda Runge - Kutta.
Některá z výše uvedených témat budou zadána k vypracování v rámci Ostatních aktivit.

Projekt

4 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

V rámci "Ostatních aktivit" budou studenti zpracovávat projekty z témat vyjmenovaných v osnovách počítačových cvičení.

eLearning