Detail předmětu

Algebra a geometrie

FSI-SB1Ak. rok: 1999/2000

Množiny: logická výstavba matematiky, základní pojmy z teorie množin,
zobrazení množin, relace na množině, kardinální čísla.
Algebraické operace: grupoidy, vektorové prostory, matice
a maticové operace.
Základy lineární algebry: determinanty, matice ve schodovitém tvaru
a hodnost matice, systém lineárních rovnic.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

doc. RNDr. Jiří Karásek, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Výsledky učení předmětu

Student se naučí dokazovat množinové rovnosti, příp. inkluze, provádět
úvahy v obecných algebraických strukturách a počítat s vektory v
abstraktním vektorovém prostoru. Student bude také schopen upravovat
maticové výrazy a řešit systémy lineárních rovnic.

Způsob a kritéria hodnocení

Podmínky udělení zápočtu:
Absolvování cvičení, v případě větší absence vykonání náhradních úloh
podle pokynů vedoucího cvičení. Splnění podmínek průběžné kontroly
(průběžné kontrolní písemné práce) a podmínek závěrečné zápočtové
písemné práce.

Učební cíle

Seznámit studenty s logickou výstavbou matematiky pomocí množinového
jazyka a se základy maticové analýzy tak, aby byli schopni provést
kompletní diskusi systému lineárních rovnic.

Základní literatura

Nicholson, W.K.: Elementary Linear Algebra with Applications , , 0
Searle, S.R.: Matrix Algebra Useful for Statistics, , 0
Borůvka, O.: Základy teorie grupoidů a grup, , 0

Doporučená literatura

Skula, L.: Úvod do teorie množin a algebraických operací, , 0
Horák, P.: Algebra a teoretická aritmetika I., , 0
Procházka, Z. a kol.: Algebra, , 0

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program M2301-5 magisterský

    obor , 1. ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

28 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Jiří Karásek, CSc.

Osnova

1. Základní pojmy z teorie množin: pojem množiny, podmnožina, nadmnožina,
množinová operace, rovnost množin, systémy množin, potenční množina,
komplement množiny, de Morganova pravidla.
2. Základní pojmy zobrazení množin: pojem zobrazení z množiny do
množiny, injektivní a surjektivní zobrazení, bijekce, inverzní
zobrazení, skládání zobrazení.
Pojem relace: obecná definice, reflexivní, symetrická, antisymetrická
transitivní, úplná relace.
3. Uspořádání, lineární uspořádání, relace ekvivalence, rozklad na
množině, vztah mezi ekvivalencí a rozkladem. Volný vektor.
4. Russelův paradox v teorii množin - pojem třídy. Algebraické operace:
grupoid, pologrupa - základní věta pologrup, neutrální prvek, inverzní
prvek.
5. Věty o inverzních prvcích. Pojem grupy. Podgrupoid, podgrupa.
6. Vektorové prostory: definice, lineární kombinace, lineární závislost
a nezávislost vektorů, podprostory.
7. Báze a dimenze vektorového prostoru, izomorfismus vektorových
prostorů, klasifikace konečně-dimenzionálních prostorů.
8. Matice nad R, maticové operace.
9. Determinant čtvercové matice. Laplaceův rozvoj. Inverzní matice.
10. Převod matice na schodovitý tvar. Hodnost matice.
11. Soustava lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda. Frobeniova
věta.
12. Cramerovox pravidlo, zobecněné Cramerovo pravidlo pro řešitelnou
soustavu lineárních rovnic.
13. Základní pojmy z teorie okruhů: komutativní okruh, okruh s jedničkou,
dělitelné nuly, obor integrity, podokruh.
14. Okruh matic.

Cvičení odborného základu

28 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Jiří Karásek, CSc.

Osnova

1. Základní pojmy výrokového počtu. Rovnosti množin.
2. Důkaz de Morganových pravidel pro obecné systémy množin, rovnosti
množin při použití komplementu množiny.
3. Cvičení na zobrazení množin, spočetné množiny.
4. Kardinální čísla, relace nerovnosti pro kardinální čísla.
Bernsteinova věta, kardinální číslo potenční množiny, mohutnost
kontinua.
5. Relace.
6. Algebraické operace, grupa, kompexní čísla.
7. Vektorový prostor nad R, lineární kombinace, lineární závislest
a nezávislost, podprostory.
8. Báze a dimenze vektorového prostoru, izomorfismus.
9. Maticové operace.
10. Determinant čtvercové matice. Inverzní matice.
11. Převod matice na schodovitý tvar. Hodnost matice.
12. Gaussova eliminační metoda, Frobeniova věta.
13. Cramerovo a zobecněné Cramerovo pravidlo.
14. Okruhy, obory integrity, podokruhy, okruh matic.