Detail předmětu

Diferenciální geometrie

FSI-SDGAk. rok: 1999/2000

Předmět "Diferenciální geometrie a tenzorový počet" má seznámit
studenty se základními pojmy a výsledky tenzorového počtu a klasické
diferenciální geometrie křivek a ploch, aby byli schopni je aplikovat v
dalších disciplínách.
V části věnované tenzorovému počtu si studenti osvojí zejména ty partie,
které mají aplikace ve fyzice a v mechanice. Pozornost je rovněž
věnována operacím s tenzory.
V diferenciální geometrii se jedná o klasickou teorii křivek a ploch.
Zvláštní pozornost se věnuje invariantům křivek (křivost a torze) při
popisu rovinných a prostorových křivek a dále invariantům ploch
(první a druhá základní forma plochy). Do kursu je rovněž zařazen
popis nejdůležitějších křivek a ploch se zřetelem k technickým aplikacím.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Výsledky učení předmětu

Předmět "Diferenciální geometrie a tenzorový počet" umožňuje
studentům získat znalosti o hlavních pojmech a metodách tenzorového
počtu a klasické diferenciální geometrie. Jedná se zejména o operace
s tenzory, o symetrické tenzory 2. stupně s konkrétními aplikacemi v
mechanice, o teorii rovinných a prostorových křivek a o teorii ploch.

Způsob a kritéria hodnocení

Podmínky pro udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení.
Zkouška: Těžiště zkoušky tvoří její písemná část v rozsahu 120 minut.
Budou zadány otázky, jejichž cílem je prověřit schopnost studentů
aplikovat získané znalosti při řešení konkrétních problémů.
Výběr příkladů k písemce je proveden tak, aby pokryly látku celého
semestru.
Následuje ústní část zkoušky. Její první částí je diskuse nad výsledky
písemky. Poté následuje položení teoretické otázky.

Učební cíle

Cílem kursu "Diferenciální geometrie a tenzorový počet" je naučit
studenty využívat aparátu a hlavních výsledků tenzorového počtu a
klasické diferenciální geometrie, aby byli schopni je aplikovat v různých
disciplínách, zejména v mechanice a fyzice. Úkolem předmětu je, aby
si studenti uvědomili, že tenzorový počet tvoří matematický aparát řady
oborů a že dif. geometrie je předpokladem zvládnutí řady problémů.

Základní literatura

M. A. Akivis, V. V. Goldberg: An Introduction to Linear Algebra and Tensors, Dover Publications, New York, 1972 (EN)
Manfredo P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces (Prentice Hall, Inc. 1976) (EN)
A. Pressley: Elementary Differential Geometry, Springer- Verlag, 2012 (EN)

Doporučená literatura

M. Doupovec : Diferenciální geometrie a tenzorový počet (skriptum VUT) (CS)
I. Kolář, L. Pospíšilová: Diferenciální geometrie křivek a ploch, elektronické skriptum MU (CS)
Boček L.: Tenzorový počet (SNTL Praha) (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program M2301-5 magisterský

    obor , 1. ročník, letní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

28 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c.

Osnova

1. Lineární, bilineární a kvadratické formy.
2. Tenzory, operace s tenzory.
3. Symetrické tenzory druhého stupně a jejich aplikace.
4. Definice křivky, reparametrizace.
5. Styk křivek, rovinné křivky.
6. Oblouk jako parametr, Frenetovy vzorce rovinné křivky.
7. Pojem plochy, tečná rovina plochy, prostorové křivky.
8. Frenetovy vzorce prostorové křivky.
9. Křivost a torze prostorové křivky.
10. První základní forma plochy.
11. Druhá základní forma plochy.
12. Hlavní směry, Gaussova a střední křivost plochy.
13. Vnitřní geometrie plochy.
14. Geodetické křivky na ploše.

Cvičení odborného základu

14 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c.

Osnova

Cvičení sleduje přednášku v týdenním odstupu.

Elektronické učební texty

Miroslav Doupovec: Diferenciální geometrie a tenzorový počet, skriptum VUT, 1999. (cs)