Detail předmětu

Algebra a geometrie II

FSI-SB2Ak. rok: 1999/2000

Euklidovské prostory a diagonalizace matic:
skalární součin vektorů, transformace souřadnic vektorů a ortogonální
matice, vlastní hodnoty a diagonalizace matic.
Základy analytické geometrie:
lineární útvary (přímka, rovina, kuželosečky, kvadriky).
Polynomy jedné neurčité:
stupeň polynomu, kořen polynomu, algoritmus dělení se zbytkem, násobnost
kořene, základní věta algebry, Eisensteinovo kritérium, Hornerovo schéma,
Euklidův algoritmus, derivace polynomu.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

6

Garant předmětu

prof. RNDr. Ladislav Skula, DrSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Výsledky učení předmětu

Student získá znalosti jak ortogonalizovat systém abstraktních vektorů
a seznámí se s Gram-Schmidtovým algoritmem. Student bude schopen získat
bázi vlastního prostoru asociovaného s vlastním číslem matice. Pomocí
těchto znalostí se student naučí provádět diagonalizaci, resp.
ortogonální diagonalizaci matice. V analytické geometrii se studenti naučí
řešit úlohy týkající se přímek a rovin. Využitím diagonalizace student
zvládne určení druhu a tvaru kuželosečky a kvadriky z jejich obecné
rovnice. Naučí se také řešit základní úlohy z oblasti polynomů (Hornerovo
schéma a Euklidův algoritmu).

Způsob a kritéria hodnocení

Podmínky udělení zápočtu:
Absolvování cvičení, v případě větší absence vykonání náhradních úloh
podle pokynů vedoucího cvičení. Splnění podmínek průběžné kontroly
(průběžné kontrolní písemné práce) a podmínek závěrečné zápočtové písemné práce.
Zkouška:
Zkouška je písemná a ústní. Písemná zkouška prověřuje znalosti na
konkrétních příkladech. Vyžaduje se 50% správně vyřešených úloh.
Ústní zkouška vyžaduje znalost definic, vět a algoritmů z přednesené
látky.

Učební cíle

Seznámit studenty se skalárním součinem vektorů abstraktního
vektorového prostoru. Provést diskusi pro matice vzhledem k diagonalizaci,
resp. ortogonální diagonalizaci. Dalším úkolem předmětu je, aby studenti
byli schopni řešit geometrické úlohy týkající se lineárních útvarů v
rovině a v prostoru. Uvést všechny typy kuželoseček a kvadratik a naučit
studenty provádět jejich úplnou klasifikaci z obecného tvaru. Vysvětlit
studentům základní úlohy z oblasti polynomů.

Základní literatura

Nicholson, W. K.: Elementary linear algebra with applications, , 0
Searle, S. R.: Matrix Algebra Useful for Statistics, , 0

Doporučená literatura

Horák, P.: Algebra a teoretická aritmetika I., , 0
Horák, P. - Janyška, J.: Analytická geometrie, , 0
Janyška, J. - Sekaninová, A.: Analytická geometrie kuželoseček a kvadrik, , 0

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program M2301-5 magisterský

    obor , 1. ročník, letní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

42 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Ladislav Skula, DrSc.

Osnova

1. Skalární součin vektorů: axiomy a základní vlastnosti skalárního
součinu, norma vektoru, jednotkový vektor, Schwarzova nerovnost, Cauchyho
nerovnost.
2. Úhel nenulových vektorů, ortogonalita, ortonarmalita, Gram-Schmidtův
algoritmus. Transformace souřadnic vektorů a ortogonální matice:
uspořádaná báze vektorového prostoru, matice přechodu.
3. Ortogonální matice, přímé a nepřímé ortogonální matice, souvislost s
ortonormálnímibázemi.
4. Vlastní hodnoty a diagonalizace matic: vlastní hodnoty, vlastní vektory
a vlastní prostory matice, charakteristický polynom matice, podobnost
matic, stopa matice.
5. Diagonalizovatelné matice, aritmetická a geometrická násobnost
vlastního čísla, algoritmus diagonalizace matice, ortogonálně
diagonalizovatelné matice, algoritmus diagonalizace matice.
6. Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině a prostoru:
kartézské souřadnicové systémy v rovině a prostoru, jejich orientace,
vektorový a smíšený součin ve V3, přímka v rovině a prostoru.
7. Rovina v prostoru, přímka v prostoru jako průsečnice dvou rovin,
vzájemná poloha přímek a rovin, úhel přímek a rovin, vzdálenosti,
poznámka o svazcích a trsech.
8. Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině:
elipsa, hyperbola, parabola.
9. Obecná teorie kuželoseček.
10.Analytická geometrie kvadratických útvarů v prostoru:
elipsoidy, hyperboloidy, paraboloidy, válcové a kuželové plochy. Poznámka
o obecných válcových, kuželových a rotačních plochách.
11.Obecná teorie kvadrik.
12.Polynomy jedné neurčité: pojem polynomu nad C, stupeň polynomu, nulový
polynom, hodnota polynomu v čísle, kořen polynomu, algoritmus dělení se
zbytkem, násobnost kořene.
13.Základní věta algebry, rozklad na ireducibilní polynomy nad C a R,
racionální kořeny polynomů nad Z, Eisensteinovo kritérium.
14.Hornerovo schéma, dělitelnost polynomů, Euklidův algoritmus, derivace
polynomu.

Cvičení odborného základu

28 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Ladislav Skula, DrSc.

Osnova

1. Ověřování axiomů skalárního součinu.
2. Norma vektoru, jednotkový vektor, úhel nenulových vektorů,
ortogonalita, ortonormalita, normalizace ortogonální množiny vektorů,
Gram-Schmidtův algoritmus.
3. Uspořádaná báze vektorového prostoru, souřadnicový vektor, matice
přechodu, ortogonální matice.
4. Přímé a nepřímé ortogonální matice, souvislost s ortonormálními bázemi,
vlastní hodnoty, vlastní vektory, vlastní prostory matice,
charakteristickýpolynom matice.
5. Podobnost matic, stopa matice, aritmetická a geometrická násobnost
vlastního čísla, algoritmus diagonalizace matice.
6. Algoritmus ortogonální diagonalizace matice, vektorový součin ve V3.
7. Smíšený součin ve V3, přímka v rovině a v prostoru, rovina v prostoru,
přímka v prostoru jako průsečnice dvou rovin.
8. Vzdálenosti, svazky a trsy, elipsa, hyperbola.
9. Parabola, obecná teorie kuželoseček.
10.Elipsoidy, hyperboloidy, paraboloidy, kvadratické válcové a kuželové
plochy.
11.Obecné válcové, kuželové a rotační plochy, obecná teorie kvadrik.
12.Dokončení obecné teorie kvadrik, operace s polynomy, stupeň polynomu,
hodnota polynomu v čísle, kořen polynomu.
13.Algoritmus dělení se zbytkem, násobnost kořene, rozklad na ireducibilní
polynomy nad C a R, racionální kořeny polynomů nad Z.
14.Eisensteinovo kritérium, Hornerovo schéma, Euklidův algoritmus,
derivace polynomu.