Detail předmětu

Numerické metody III

FSI-SN3Ak. rok: 2023/2024

V předmětu Numerické metody III je představena metoda konečných prvků jako nástroj k přibližnému řešení diferenciálních rovnic. V kurzu jsou probírány matematické základy metody konečných prvků i implementace vybraných algoritmů.

Velká pozornost je věnována matematické podstatě metody, zejména slabé formulaci diferenciálních rovnic, Galerkinově metodě a analýze diskretizačních chyb. Ukázány jsou různé typy konečných prvků.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných. Základy funkcionální analýzy, parciální diferenciální rovnice. Numerické metody, zejména interpolace, integrace a řešení soustav ODR. Programování v prostředí MATLAB.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Podmínky pro udělení klasifikovaného zápočtu: aktivní účast ve cvičeních a zpracování zadaných projektů. Za výraznou aktivitu ve výuce lze hodnocení zvýšit.

Jestliže úspěšnost měříme v procentních bodech, pak je klasifikace provedena takto: 100--90: A (výborně), 89--80: B (velmi dobře), 79--70: C (dobře), 69--60: D (uspokojivě), 59--50: E (dostatečně), 49--0: F (nevyhovující).


Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Zmeškaná výuka může být nahrazena po dohodě se cvičícím.

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty s matematickými základy metody konečných prvků a pochopení algoritmizace a standardních programátorských technik používaných při její implementaci.


V předmětu Numerické metody III studenti získají základní znalosti o metodě konečných prvků a její matematické podstatě a použijí tyto znalosti v několika samostatných projektech.

Základní literatura

S.C. Brenner, L.R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer-Verlag, 2002. (EN)
L. Čermák: Algoritmy metody konečných prvků, [on-line], available from: http://mathonline.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-III/sc-1151-sr-1-a-142/default.aspx. (CS)
K. Eriksson, D. Estep, P. Hansbo, C. Johnson: Computational Differential Equations, Cambridge University Press, 1996. (EN)
A. Ern, J.-L. Guermond: Theory and Practice of Finite Elements, Springer Series in Applied Mathematical Sciences, Vol. 159 (2004) 530 p., Springer-Verlag, New York (EN)
C. Jonson: Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Cambridge University Press, Cambridge, 1995. (EN)
P. Knabner, L. Angermann: Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2003. (EN)
M. G. Larson, F. Bengzon: The Finite Element Method: Theory, Implementation, and Applications, Springer, 2013. (EN)

Doporučená literatura

A. Ženíšek: Matematické základy metody konečných prvků, [on-line], available from: http://mathonline.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-III/sc-1151-sr-1-a-142/default.aspx. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-MAI-P magisterský navazující, 1. ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Ing. Petra Rozehnalová, Ph.D.

Osnova

Metoda konečných prvků v 1D:

  • slabá formulace,
  • konečněprvková aproximace,
  • sestavení soustavy lineárních rovnic,
  • implementace,
  • apriorní odhady chyb,
  • aposteriorní odhady chyb a adaptivní metody.

Metoda konečných prvků ve 2D:

  • slabá formulace,
  • konečněprvková aproximace,
  • sestavení soustavy lineárních rovnic,
  • isoparametrické prvky,
  • různé typy konečných prvků,
  • implementace (struktura dat, generování sítí).

Časově závislé úlohy

Abstraktní formulace

  • prostory funkcí,
  • abstraktní variační formulace a Galerkinova metoda,
  • Lax-Milgramovo lemma,
  • Galerkinova ortogonalita, věta o nejlepší aproximaci.

Cvičení s počítačovou podporou

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Ing. Petra Rozehnalová, Ph.D.

Osnova

Obsah cvičení navazuje na přednášky. Studenti pod vedením cvičícího pracují na zadaných projektech.