Detail předmětu

Moderní metody řešení diferenciálních rovnic

FSI-SDRAk. rok: 2023/2024

Předmět podává přehled moderních metod řešení diferenciálních rovnic založených na funkcionální analýze. Zabývá se následujícími okruhy:

  • Přehled prostorů funkcí s integrovatelnými derivacemi.
  • Lineární eliptické rovnice: slabá a variační formulace okrajových úloh, existence a jednoznačnost řešení, přibližná řešení a jejich konvergence.
  • Specifika nelineárních úloh.
  • Slabá a variační formulace nelineárních stacionárních koercivních úloh, existence řešení. Aplikace na vybrané rovnice matematické fyziky.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více reálných proměnných,
obyčejné a parciální diferenciální rovnice, funkcionální analýza a prostory funkcí, teorie pravděpodobnosti.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Zápočet: aktivní účast ve výuce.
Zkouška - praktická část testuje schopnost vzájemně převádět slabou, variační a klasickou formulaci konkrétní nelineární okrajové úlohy a analyzovat její zobecněné řešení. Teoretická část obsahuje 4 otázky z přednesené látky.
Pří nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem.

Učební cíle

Cílem kurzu je podat posluchačům přehled moderních metod řešení okrajových úloh pro diferenciální rovnice založených na prostorech funkcí a funkcionální analýzy včetně konstrukce přibližných řešení.
Studenti získají orientaci v zobecněných formulacích (slabých a variačních) úloh pro parciální i obyčejné diferenciální rovnice a konstrukci přibližných řešení používaných pro numerické výpočty.
Získají také představu o stochastickém integrálu a stochastických diferenciálních rovnicích.

Základní literatura

S. Fučík, A. Kufner: Nonlinear Differential Equations, Nort Holland, 1980. (EN)
K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering, Dordrecht, D. Reidel Publ. Comp., 1980. (EN)
J. Nečas: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012. (EN)
B. Oksendal: Stochastic Differential Equations, Springer, Berlin 2000. (EN)

Doporučená literatura

J. Franců: Moderní metody řešení diferenciálních rovnic, Akad. nakl. CERM, Brno 2006 (CS)
K. Rektorys: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 1995. (CS)
S. Fučík, A. Kufner: Nelineární diferenciální rovnice, SNTL, Praha 1978. (CS)
S. Fučík, A. Kufner: Nonlinear Differential Equations, Nort Holland, 1980. (EN)
J. Nečas: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012. (EN)

eLearning

eLearning: aktuální otevřený kurz

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-MAI-P magisterský navazující, 1. ročník, letní semestr, povinný
    , 2. ročník, letní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Osnova

1. Motivace. Přehled vybraných prostředků funkcionální analýzy.
2. Lebesgueovy prostory, zobecněné funkce, popis hranice oblasti.
3. Sobolevovy prostory, různá zavedení, věty o vnoření a o stopách, duální prostory.
4. Slabá formulace lineárních eliptických rovnic.
5. Laxovo-Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost řešení.
6. Variační formulace, konstrukce přibližných řešení.
7. Specifika nelineárních úloh, různé nelinearity. Němyckého operátory.
8. Slabá a variační formulace stacionárních nelineárních rovnic.
9. Monotónní operátory a jejich použití.
10. Aplikace metod na vybrané rovnice matematické fyziky.
11. Úvod do stochastických diferenciánlních rovnic. Brownův pohyb.
12. Itoův integrál a Itoova formule. Řešení stochastických diferenciálních rovnic.
13. Rezerva.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Osnova

Ilustrace pojmů na příkladech a použití vět a teoretických výsledků z přednášek
v konkrétních situacích a na vybraných rovnicích matematické fyziky.

eLearning

eLearning: aktuální otevřený kurz