Master's Thesis

Stochastic ordinary differential equations

Final Thesis 1.26 MB

Author of thesis: Ing. Michal Bahník

Acad. year: 2014/2015

Supervisor: prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Reviewer: doc. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D.

Abstract:

This thesis deals with the issue of stochastic ordinary differential equations. After the summary of the theory of stochastic processes, namely the Brownian motion, the stochastic Itô's integral, differential and so called Itô's formula are introduced. Thereafter the solution of the initial value problem for the stochastic equation is defined and the theorem of its existence and uniqueness is stated. For the case of the linear equation the explicit formula for the solution is derived as well as the equations for its expected value and variance. The last part is the analysis of selected equations.

Keywords:

Brownian motion, Itô's formula, Itô's integral, Stochastic ordinary differential equations

Date of defence

25.06.2015

Result of the defence

Defended (thesis was successfully defended)

znamkaBznamka

Grading

B

Language of thesis

English

Faculty

Fakulta strojního inženýrství

Department

Institute of Mathematics

Study programme

Applied Sciences in Engineering (N3901-2)

Field of study

Mathematical Engineering (M-MAI)

Composition of Committee

prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc. (předseda)
prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc. (místopředseda)
doc. RNDr. Bohumil Maroš, CSc. (člen)
doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. (člen)
doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D. (člen)
prof. Bruno Rubino (člen)

Supervisor’s report
prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Cíl práce sepsat úvod do teorie obyčejných stochastických diferenciálních rovnic vhodný pro uživatele z inženýrské praxe a ukázat řešení lineárních rovnic prvního řádu byl splněn. Po stručném shrnutí teorie je ukázáno řešení lineárních rovnic. Grafy realizací řešení konkrétních rovnic byly spočítány pomocí systému MATLAB. Autor pracoval samostatně, vycházel přitom hlavně z několika monografií. Poslední příklady si našel sám. Práce v anglickém jazyce je zpracována místy až příliš úsporně, což vedlo k nepřesnostem, například v Definici 2.2, tvrzení (2) chybí předpoklad disjunktnosti množin A_i. Přes drobné nedostatky a překlepy jde o práci kvalitní a mohu ji doporučit k obhajobě.
Evaluation criteria Grade
Splnění požadavků a cílů zadání B
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod B
Vlastní přínos a originalita C
Schopnost interpretovat dosažené vysledky a vyvozovat z nich závěry B
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii B
Logické uspořádání práce a formální náležitosti A
Grafická, stylistická úprava a pravopis B
Práce s literaturou včetně citací A
Samostatnost studenta při zpracování tématu A

Grade proposed by supervisor: B

Reviewer’s report
doc. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D.

Cílem práce bylo stručně shrnout základy teorie stochastických diferenciálních rovnic a odvodit  vzorce pro řešení a pro momenty řešení lineární stochastické diferenciální rovnice 1. řádu. Pan Bahník tento cíl naplnil. Podařilo se mu zpracovat obtížné téma přehledně a srozumitelně. Práce má jasnou strukturu. Při jejím zpracování autor vycházel především ze dvou zdrojů. K uvedeným příkladům  napsal vlastní programy a vytvořil k nim vizualizace v programu Matlab. Práce je přínosná, její výsledky  zajímavé. Postrádám v ní ale vlastní originální příklady. Z hlediska grafické úpravy  je diplomová práce  zpracována přehledně a úhledně.

Připomínky k práci:

Str. 10, Def. 3.5: Táto definice je zbytečná a navíc je to „zacyklené“. Definuje se nejdřív filtrace generovaná Brownovým pohybem a potom pomocí této filtrace  Brownův pohyb.

Str.11. lim sup a lim inf  pro t blížící se k nule zprava (zleva to nedává smysl).

Str. 31. Úvod: Při každém numerickém počítání je potřeba zavést dělení intervalu, argumentace autora je nejasná a bylo by dobře u obhajoby vysvětlit tento úvod k příkladům.

Bylo by zajímavé ověřit si výpočet ze strany 23 pomocí vzorců odvozených na straně 30.

Závěr: 

Předložená diplomová práce splnila  požadavky na ni kladené a je možno ji doporučit  k obhajobě.
Evaluation criteria Grade
Splnění požadavků a cílů zadání B
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod B
Vlastní přínos a originalita C
Schopnost interpretovat dosaž. vysledky a vyvozovat z nich závěry B
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii B
Logické uspořádání práce a formální náležitosti A
Grafická, stylistická úprava a pravopis B
Práce s literaturou včetně citací A
Topics for thesis defence:
  1. Vysvětlit úvod k příkladům ze strany 31.

Grade proposed by reviewer: B

Responsibility: Mgr. et Mgr. Hana Odstrčilová