Bachelor's Thesis

Variational principles applied to bent beams

Final Thesis 1.46 MB

Author of thesis: Bc. Michaela Hadačová

Acad. year: 2025/2026

Supervisor: prof. Ing. Jan Eliáš, Ph.D.

Reviewer: Ing. Petra Rozehnalová, Ph.D.

Abstract:

This bachelor’s thesis deals with variational principles in structural mechanics and their application to beam structures. The thesis derives selected variational principles, namely the principle of virtual displacements (PVD), the principle of virtual forces (PVF), the Hellinger-Reissner principle (HR), and the Veubeke-Hu-Washizu principle (VHW). The individual principles are subsequently applied to problems of an axially loaded bar and an Euler-Bernoulli beam subjected to bending. For the solved problems, the corresponding variational formulations are established, appropriate approximation functions are chosen, and the resulting solutions are derived. The thesis further focuses on the comparison of the individual variational principles, their properties, advantages, and limitations in solving problems of structural mechanics.

Keywords:

variational principles, principle of virtual displacements, principle of virtual forces, Hellinger-Reissner principle, Veubeke-Hu-Washizu principle, Euler-Bernoulli beam, approximation, structural mechanics

Date of defence

16.06.2026

Result of the defence

Defended (thesis was successfully defended)

znamkaAznamka

Grading

A

Process of defence

Studentka Michaela Hadačová představila komisi formou prezentace svou bakalářskou práci na téma Variační principy v mechanice aplikované na ohýbané pruty. Po přečtení hodnocení vedoucího a posudku oponentky předložené bakalářské práce byly v rámci obhajoby zodpovězeny a diskutovány otázky oponentky. Otázka 1: V příkladu 3.1. b) a posléze i d) a f) správně zmiňujete, že získané řešení není přesné, neboť nesplňuje silnou rovnici rovnováhy. Bylo by možné zjistit, že toto řešení není přesné, pouze s využitím příslušné variační formulace (tedy bez použití silné formulace)? Studentka vysvětluje, čím se zabývá příklad 3.1 a vysvětluje, co je variační formulace. Čímž odpovídá na dotaz oponentky. Otázka 2: V odstavci 4.2.3 popisujete okrajové podmínky. Ptám se, zda je možné bez větších komplikací a při dodržení Vámi zmiňovaných podmínek, je zadat libovolně a nezávisle na sobě pro levý a pravý konec. Studentka odpovídá na dotaz a vysvětluje, její pohled na dotaz. Komentuje nutnost předepsání okrajových podmínek pro jednotlivé úlohy. V následné diskuzi k bakalářské práci byly položeny následující otázky: Doc. Frantík komentuje souvislost křivosti a derivací. Kritizuje pojem přemístění vs. posun. Ptá se, kde v rovnicích lze vidět přechod k malým deformacím v souvislosti s křivostí. Studentka příliš nerozumí otázce. Doc. Novák se ptá, zda zkoušeli hledat optimální polynom pro bázové funkce. Studentka odpovídá, že nezkoušela, ale přemýšlela nad touto úlohou, že by výsledky byly zajímavé. Dr. Lang se ptá, jaké má studentka výhledy do budoucna na rozšíření práce. Studentka odpovídá, že by mohli variační principy aplikovat například na stěnové prvky. Prof. Kala se ptá na použití AI v rámci zpracování bakalářské práce. Studentka odpovídá, že využila placenou verzi ChatGPT.

Language of thesis

Czech

Faculty

Fakulta stavební

Department

Institute of Structural Mechanics

Study programme

Civil Engineering (BPC-SI)

Specialization

Structural and Transport Engineering (K)

Composition of Committee

prof. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. (předseda)
doc. Ing. Lukáš Novák, Ph.D. (člen)
doc. Ing. Hana Šimonová, Ph.D. (člen)
Ing. Rostislav Lang, Ph.D. (člen)
prof. Ing. Stanislav Seitl, Ph.D. (místopředseda)
doc. Ing. Petr Frantík, Ph.D. (člen)

Supervisor’s report
prof. Ing. Jan Eliáš, Ph.D.

Grade proposed by supervisor: A

File inserted by supervisor Size
formulář [.pdf] 67,80 kB

Reviewer’s report
Ing. Petra Rozehnalová, Ph.D.

Topics for thesis defence:
  1. V příkladu 3.1. b) a posléze i d) a f) správně zmiňujete, že získané řešení není přesné, neboť nesplňuje silnou rovnici rovnováhy. Bylo by možné zjistit, že toto řešení není přesné, pouze s využitím příslušné variační formulace (tedy bez použití silné formulace)?
  2. V odstavci 4.2.3 popisujete okrajové podmínky. Ptám se, zda je možné, bez větších komplikací a při dodržení Vámi zmiňovaných podmínek, je zadat libovolně a nezávisle na sobě pro levý a pravý konec.

Grade proposed by reviewer: A

File inserted by the reviewer Size
Posudek oponentky.pdf 702,63 kB

Responsibility: Mgr. et Mgr. Hana Odstrčilová