Cílem práce bylo navrhnout statistický postup, který by umožnil smysluplně odhadnout parametry rozdělení životnosti produktu z prohlášení expertů týkajících se budoucích selhání. K využití názoru expertů se často přistupuje ve chvíli, kdy ani akcelerovaná zkouška produktu nevede k žádnému selhání v testované sadě.

Práce vznikla ve spolupráci s externím poradcem Dr. Lewitschnigem a za podpory firmy Infineon Technologies Austria AG v rámci projektu IPCEI Microelectronics. Vzhledem k této spolupráci je využitelnost výsledků v praxi nesporná.

Během vedení Bc. Kateřiny Koukalové jsem měla možnost sledovat její pečlivost a snahu o čistý popis dané situace. Vedle samostatného hledání řešení navrhovaného problému oceňuji i její rozsáhlou a dobře organizovanou výpočtovou práci prováděnou v Pythonu.

Ze zdánlivě triviální otázky na počátku, se vyvinul text, který diskutuje počet přípustných hodnot pravděpodobností selhání v daných časových intervalech, existenci maximálně věrohodných odhadů Weibullova rozdělení při simulacích odpovídajících různým řešením včetně vyčíslení intervalů spolehlivosti distribuční funkce ve stanoveném čase pomocí funkcionálního boxplotu.

Obdivuhodné je, jak Kateřina trvala na sestavení takového modelu, který by reflektoval všechny detaily zadání, jako třeba žádné selhání do prvního časového okamžiku po akcelerované zkoušce. Dále studentkou navržené elegantní řešení problému nejednoznačnosti řešení skrze bayesovský přístup založený na Dirichletově-multinomickém rozdělení se ukázalo jako velmi vhodné. Především proto, že při dodání vedlejší přirozené podmínky vedlo v nejtypičtějších formách prohlášení expertů k jednoznačnému odhadu parametrů. Na základě takového odhadu pak bylo možné provést simulace možných počtů selhání a stanovit maximálně věrohodné odhady parametrů Weibullova rozdělení a odpovídající funkcionální boxploty. Bc. Koukalová text doplnila o názorné grafy umožňující čtenáři snadnou vizualizaci celého problému. Pozornost byla v práci věnována i srovnání výstupů jednotlivých modelů v konkrétním případě a diskuzi o existenci řešení v různých nastaveních.

Celkově práci považuji za velmi zdařilou a věřím, že může být přímo aplikována.

Předložená diplomová práce se zabývá statistickým modelováním spolehlivosti součástí, kdy u testovaného vzorku nedojde k žádnému selhání. Aplikační motivace práce vynucuje široký záběr nutných znalostí, kde bylo nutné propojit pravděpodobnostní modelování, spolehlivostní analýzu, numerickou optimalizaci a simulační ověření navržených postupů. Práce je motivována praktickým problémem průmyslové spolehlivosti a přirozeně navazuje na základní literaturu.

Autorka nejprve přehledně zavádí potřebný matematicko-statistický aparát, zejména Weibullovo rozdělení, podmíněné pravděpodobnosti, maximálně věrohodný odhad, beta-binomické, multinomické a Dirichletovo–multinomické rozdělení. Na tomto základě formuluje expertovy výroky o kumulativních počtech selhání a navrhuje dva modelové přístupy. První z nich, podmíněný multinomický model, vede v některých případech k více přípustným řešením. Druhý, podmíněný Dirichletův–multinomický model, tuto nejednoznačnost řeší zavedením náhodného vektoru pravděpodobností a kritéria maximalizace apriorního rozptylu.

Za hlavní přednost práce považuji samostatné propojení expertových pravděpodobnostních omezení s konkrétním vícerozměrným pravděpodobnostním modelem a následné simulační ověření dopadu na odhad parametrů Weibullova rozdělení. Oproti standardnímu bayesovskému přístupu, kdy je nutné formulovat apriorní informaci přímo o parametrech Weibullova rozdělení, je popsaný postup výrazně přístupnější expertům, jejichž tvrzení se snaží zakomponovat do modelů spolehlivosti. Oceňuji také snahu o systematické porovnání modelů a využití funkcionálních boxplotů pro vizualizaci odhadovaných distribučních funkcí.

Práce má i dílčí slabiny. Přehled existujících modelů pro situace s nulovým počtem selhání mohl být širší. Kritérium maximalizace apriorního rozptylu je rozumné a konzervativní, ale zasloužilo by hlubší zdůvodnění. Simulační studie se soustředí zejména na numerickou stabilitu a vizualizaci výsledků, méně již na formální metriky kvality odhadů nebo citlivost vůči různým typům expertních výroků. Jazyková stránka je celkově dobrá, množství překlepů a typografických prohřešků je zanedbatelné.

Uvedené nedostatky nepovažuji za zásadní. Práce prokazuje schopnost autorky formulovat netriviální statistický model, pracovat s odbornou literaturou, implementovat numerické metody a interpretovat výsledky v kontextu inženýrské aplikace. Cíle zadání považuji za splněné. Diplomovou práci doporučuji k obhajobě a hodnotím ji známkou výborně / A. Topics for thesis defence:

1. Je podle Vás možné použití i jiného typu expertních výroků? Například tvrzení o průběhu intenzity poruch (hazard function).
2. Z funkcionálních boxplotů je ve všech případech patrné, že u části „vnějších“ 10 % distribučních funkcí nabývá parametr tvaru Weibullova rozdělení hodnot menších než 1, na rozdíl od většiny ostatních distribučních funkcí. Tím se mění charakter modelované doby do poruchy. Mají tyto „odlehlé scénáře“ v simulacích nějakou společnou charakteristiku?
3. Doporučila byste použít navržený, případně lehce modifikovaný postup pro odhad doby, po kterou by měla zkouška spolehlivosti probíhat, aby v množině testovaných součástek došlo s předem danou pravděpodobností k alespoň jednomu selhání?