Master's Thesis

Mathematical Model of Time-Varying Mesh Stiffness of Cylindrical Gears

Final Thesis 918.15 kB

Author of thesis: Bc. Richard Timko

Acad. year: 2025/2026

Supervisor: Ing. Alexander Czakó

Reviewer: Ing. Jozef Dlugoš, Ph.D.

Abstract:

The thesis is dedicated to the derivation and implementation of a mathematical model of the time-varying mesh stiffness of spur gears, which is recognised as one of the principal sources of internal excitation in geared transmission systems. The opening part provides a review of the contact geometry, internal dynamics of a gear pair and an overview of existing approaches to mesh stiffness computation, which are organised into a hierarchy of analytical, finite element and hybrid methods. The potential energy method extended by the structure coupling effect proposed by Xie is adopted as the methodological foundation. Within the double tooth contact region the mutual compliance of adjacent teeth is taken into account. The individual stiffness components are derived using Castigliano's theorem, the Hertzian contact component is modelled by Cornell's nonlinear formula and the fillet-foundation compliance is evaluated by the Sainsot-Velex formula based on Muskhelishvili's theory of an elastic ring. The load distribution between simultaneously engaged tooth pairs is determined by the principle of minimum potential energy. The model has been implemented in MATLAB and validated against published reference data for a set of gear configurations differing in the inner hole radius. For independent verification a parametric finite element model of a two-dimensional geometry has been assembled in ANSYS Mechanical APDL, employing the augmented Lagrange formulation of frictionless contact and multi-point constraint bonding of the hub. The agreement achieved between the analytical and the numerical approach for the reference geometry remains below two per cent in the single tooth contact region and below four per cent in the double tooth contact region. The thesis also includes the slice method, which extends the framework of the potential energy method to helical gears

Keywords:

Time-varying mesh stiffness, spur gears, potential energy method, structure coupling effect, Sainsot--Velex formula, Cornell formula, transmission error, finite element method, ANSYS APDL, MATLAB, gearbox dynamics

Date of defence

17.06.2026

Result of the defence

Defended (thesis was successfully defended)

znamkaCznamka

Grading

C

Process of defence

Student prezentoval zkušební komisi svou závěrečnou práci a zodpověděl otázky oponenta. Otázky oponenta: 1) V stručnosti interaktívne predstavte Váš nástroj na výpočet premenlivej tuhosti záberu. Hodnocení: Zodpovězeno 2) Rieší súčasná odborná literatúra tuhosť olejovej vrstvy medzi zubami v zábere? Alebo je považovaná za dokonale nestlačiteľnú? Hodnocení: Zodpovězeno 3) Uveďte porovnanie Vašich výsledkov a výsledkov z publikácie [26] v podobe grafov závislostí tuhosti záberu ako má publikácia na Fig. 11. Hodnocení: Zodpovězeno Následně odpovídal na otázky členů zkušební komise: 1) Porovnejte výsledky vašeho výpočtu a pomocí MKP. Hodnocení: Zodpovězeno 2) Bylo by možné upravit Vaši aplikaci pro výpočet hypoidního ozubení? Hodnocení: Zodpovězeno 3) Shrňte předpoklady a limitace Vámi použitého přístupu. Hodnocení: Zodpovězeno 4) Jaký kontakt byl využit při modelování soukolí pomocí MKP. Hodnocení: Zodpovězeno 5) Čím si vysvětlujete dlouhou výpočetní dobu MKP výpočtu Vámi popisovaného 2D modelu? Hodnocení: Zodpovězeno

Language of thesis

Slovak

Faculty

Department

Study programme

Automotive and Material Handling Engineering (N-ADI-P)

Composition of Committee

doc. Ing. Petr Porteš, Ph.D. (předseda)
prof. Ing. František Bauer, CSc. (místopředseda)
Ing. František Zapletal, Dr. (člen)
Ing. Lukáš Šopík (člen)
doc. Ing. Zdeněk Kaplan, CSc. (člen)

Supervisor’s report
Ing. Alexander Czakó

Diplomová práca pána Timka sa zaoberá vytvorením matematického modelu pre výpočet premenlivej tuhosti záberu čelného ozubenia. Celkový rozsah práce je 79 strán, pričom práca obsahuje rešeršnú časť, popis zvolenej analytickej metódy, vlastnú implementáciu výpočtu v prostredí MATLAB a porovnanie výsledkov s referenčnými údajmi a vlastným MKP modelom.

Študent pracoval počas spracovania diplomovej práce prevažne samostatne a konzultácie využíval skôr v obmedzenej miere. Na konzultácie však chodil nadpriemerne pripravený a preukázal schopnosť samostatne si naštudovať pomerne náročnú odbornú problematiku a orientovať sa v nej. Slabšou stránkou bol časový manažment práce, keďže ucelenú textovú časť práce zaslal školiteľovi až krátko pred termínom odovzdania. Z tohto dôvodu už nebol dostatočný priestor na podrobnejšiu spätnú väzbu a zapracovanie pripomienok, čo sa prejavilo na celkovej kvalite práce.

Rešeršná časť je spracovaná v pomerne širokom rozsahu a zahŕňa základnú teóriu ozubenia, problematiku vnútornej dynamiky, chyby prevodu a prehľad metód výpočtu tuhosti záberu ozubenia. Pozitívne hodnotím, že študent pracoval najmä s aktuálnymi vedeckými publikáciami a na ich základe vhodne zdôvodnil výber použitej metódy. Za prínosné považujem aj uvádzanie anglickej terminológie v poznámkach pod čiarou, čo uľahčuje orientáciu v odbornej literatúre. Práca čerpá zo 46 informačných zdrojov, pričom jeden záznam je v zozname uvedený duplicitne. Rešerš tvorí vhodný základ pre praktickú časť práce, v ktorej bola ako hlavná metóda zvolená metóda potenciálnej energie doplnená o pokročilejšie formulácie jednotlivých zložiek poddajnosti.

Vlastný prínos práce spočíva predovšetkým vo vytvorení výpočtového algoritmu a aplikácie vo forme grafického používateľského rozhrania, ktoré však nie je v práci dostatočne prezentované. Výsledky vytvoreného modelu boli porovnané s referenčnými údajmi z odbornej literatúry a s vlastným MKP modelom, ktorý bol vytvorený nad rámec požiadaviek zadania. Nejde o vývoj úplne novej teórie, ale o samostatnú implementáciu a syntézu existujúcich prístupov, čo považujem na úrovni diplomovej práce za prínosné. Ciele práce boli v zásade splnené, keďže študent spracoval prehľad používaných metód, popísal metódu potenciálnej energie, vytvoril matematický model a vykonal porovnanie výsledkov. Výhrady mám najmä k spôsobu prezentácie a interpretácie výsledkov, keďže porovnania sú uvedené len pomocou vybraných číselných charakteristík bez grafického zobrazenia celého priebehu tuhosti záberu. To sťažuje posúdenie, či je zhoda dosiahnutá v celom priebehu záberového cyklu, alebo iba na úrovni priemerných, maximálnych a minimálnych hodnôt.

Oceňujem, že sa študent venoval, okrem priameho čelného ozubenia, aj rozšíreniu modelu na šikmé čelné ozubenie. Táto časť práce však nie je spracovaná úplne konzistentne. V texte nie je dostatočne jasne oddelené, ktoré časti rozšírenia boli iba teoreticky popísané, ktoré boli implementované a ktoré boli aj skutočne validované. Niektoré závery týkajúce sa šikmého ozubenia preto pôsobia silnejšie, než umožňuje rozsah prezentovaných výsledkov. Túto časť by bolo vhodné podrobnejšie doložiť výpočtami a porovnaním. Za problematickú považujem aj časť venovanú vplyvu geometrie venca ozubeného kolesa na výslednú tuhosť záberu. Pri zmenšovaní šírky venca, resp. zväčšovaní vnútorného otvoru kolesa, práca uvádza pokles tuhosti v analytickom aj MKP modeli. Tento výsledok však nie je dostatočne diskutovaný vo vzťahu k použitým okrajovým podmienkam, najmä k tuhému väzbeniu v oblasti stredu kolesa, ani vo vzťahu k referenčnej literatúre. Uvedený trend preto zostáva nejednoznačný a vyžadoval by podrobnejšie vysvetlenie.

Grafická a formálna úroveň je slabšou stránkou odovzdanej práce. Vzhľadom na technický charakter práce by bolo vhodné doplniť väčší počet obrázkov, schém a grafov pri popise deformačných zložiek, MKP modelu a najmä pri prezentácii výsledkov. Treba však podotknúť, že vlastné obrázky, ktoré sa v práci nachádzajú, sú na vysokej úrovni. V texte sa taktiež vyskytujú viaceré formálne a štylistické nedostatky a drobné gramatické chyby, ktoré mierne znižujú čitateľnosť práce.

Autor v práci uvádza využitie generatívnej umelej inteligencie vrátane jednotlivých účelov jej použitia a zároveň deklaruje, že výstupy kriticky overoval, čo hodnotím pozitívne. Súčasne však uvádza, že niektoré výstupy AI boli priamo použité v práci alebo významne ovplyvnili postup či výsledky, pričom z textu nie je zrejmé, ktorých konkrétnych častí sa toto tvrdenie týka.

Celkovo hodnotím prácu ako prínosnú, ale nie úplne dotiahnutú z hľadiska prezentácie výsledkov, interpretácie a formálnej úpravy. Študent preukázal samostatnosť, schopnosť práce s odbornou literatúrou a schopnosť vytvoriť vlastné riešenie, avšak kvalita finálneho spracovania bola negatívne ovplyvnená najmä nedostatočným časovým rozvrhnutím práce. K nižšiemu hodnoteniu prispievajú aj nejasnosti v prezentácii niektorých výsledkov a miestami nedostatočne podložené závery. Diplomovú prácu odporúčam k obhajobe a navrhujem hodnotenie C – dobre.
Evaluation criteria Grade
Splnění požadavků a cílů zadání B
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod B
Vlastní přínos a originalita A
Schopnost interpretovat dosažené výsledky a vyvozovat z nich závěry D
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii B
Logické uspořádání práce a formální náležitosti C
Grafická, stylistická úprava a pravopis D
Práce s literaturou včetně citací B
Samostatnost studenta při zpracování tématu A

Grade proposed by supervisor: C

Reviewer’s report
Ing. Jozef Dlugoš, Ph.D.

Hlavný cieľ záverečnej práce je vytvoriť algoritmus pre výpočet premenlivej tuhosti záberu ozubenia. Za týmto účelom je vytvorená rešerš, ktorá začína všeobecným popisom ozubenia o rozsahu 15 strán. Ďalej je popisovaná teória o chybe prevodu, nasledovaná detailným prehľadom rôznych úrovní výpočtov tuhosti záberu. Rešerš je zavŕšená výberom metódy, ktorá je študentom realizovaná. Výber je vhodne argumentovaný.
Praktická časť sa venuje popisu vzťahov, ktoré sú študentom použité pri samotnom výpočte. Práci by veľmi pomohlo použitie viac obrázkov, ktoré by text doplňovali. Napr. pri popise jednotlivých smerových deformácií nie je uvedený schématický obrázok žiadny. Študent cituje a predstavuje aktuálne vedecké práce. Aj na tomto mieste by bolo vhodné výsledky neprezentovať len textovo, ale podporiť ich aj graficky. Naopak, na obr. 8 je zobrazený algoritmus výpočtu časovo premennej tuhosti záberu, ale bol by vhodný aj slovný popis jednotlivých krokov.
Vytvorený výpočtový algoritmus je porovnaný s výsledkami uznávanej vedeckej práce. Na tomto mieste sa naplno prejavuje nedostatočné prezentovanie výsledkov. V referenčnej literatúre sú uvedené priebehy tuhosti záberu ozubenia. P. Timko výsledky komprimoval do priemernej, maximálnej a minimálnej hodnoty. Na tejto úrovni je dosiahnutá dobrá zhoda. Otázka ostáva, ako je to pre zvyšné polohy ozubenia. V tejto podkapitole nie je uvedený jediný obrázok, graf.
Zmena nenastáva ani pri kapitole porovnaní vytvoreného analytického modelu a MKP modelu. Ani táto kapitola neobsahuje žiadny obrázok. Študent píše, že stred ozubeného kolesa je väzbený pomocou tuhej okrajovej podmienky (CERIG). To znamená, že čím je veniec ozubeného kolesa užší, tým bližšie zubom je tuhá väzba a tým by mala byť aj vyššia tuhosť záberu ozubenia. Tak ako to prezentuje aj referenčná literatúra [26]. U p. Timka dochádza k opačnému javu. Čím je šírka venca menšia, tým je tuhosť nižšia. A vyšlo to pre MKP a aj pre vytvorený analytický model. Tieto výsledky na základe prezentovaných okrajových podmienok nie sú logické.
Na konci práce sú zhrnuté obmedzenia vytvoreného modelu, ktoré sú zároveň navrhnuté ako priestor pre ďalšie zlepšenie modelu.
Predložený text je možné považovať za kvalitný sekundárny zdroj pri výpočte premenlivej tuhosti záberu. Obsahuje výsledky aktuálnych publikácií a prezentuje vlastné riešenie. Na nízkej úrovni je prezentácia výsledkov. Porovnanie je vykonané len na vybraných parametroch a niekedy nie je jasné, ako boli výsledky dosiahnuté – sekcia s MKP.
Evaluation criteria Grade
Splnění požadavků a cílů zadání C
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod B
Vlastní přínos a originalita B
Schopnost interpretovat dosaž. výsledky a vyvozovat z nich závěry D
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii B
Logické uspořádání práce a formální náležitosti B
Grafická, stylistická úprava a pravopis E
Práce s literaturou včetně citací B
Topics for thesis defence:
  1. V stručnosti interaktívne predstavte Váš nástroj na výpočet premenlivej tuhosti záberu.
  2. Rieší súčasná odborná literatúra tuhosť olejovej vrstvy medzi zubami v zábere? Alebo je považovaná za dokonale nestlačiteľnú?
  3. Uveďte porovnanie Vašich výsledkov a výsledkov z publikácie [26] v podobe grafov závislostí tuhosti záberu ako má publikácia na Fig. 11.

Grade proposed by reviewer: C

Responsibility: Mgr. et Mgr. Hana Odstrčilová