Kateřina Gajdůšková se ve své práci zabývá řešením parciálních diferenciálních rovnic, které vyvstávají při matematickém modelování tenkých skořepin – konkrétně Kirchhoffových desek. Od hledaného řešení je, mimo jiné, požadována větší hladkost než je obvyklé pro například u běžně studovaných rovnic druhého řádu. K řešení je použita metoda konečných prvků a právě tyto vyšší požadavky na hladkost způsobují mnohé komplikace. V práci jsou podrobně představeny dva přístupy k řešení a to pomocí konformních a nekonformních prvků.

V první kapitole je představena slabá formulace úlohy a její aproximace pomocí Galerkinovy metody. Další kapitola se věnuje metodě konečných prvků. Je zde uvedeno několik vhodných konkrétních prvků - Zienkiewiczův obdélníkový prvek, Argyrisův trojúhelníkový prvek a Morleyho trojúhelníkový prvek. Dále je popsán numerický způsob integrace pomocí transformace na mateřský element, včetně různých typů transformací a jejich použití pro zmíněné prvky. Těžiště práce pak spočívá ve srovnání vlastností vybraných prvků na testovací úloze. Na závěr jsou stručně zmíněny některé další přístupy vhodné pro řešení těchto úloh.

Kateřina Gajdůšková nastudovala velké množství literatury a získané poznatky dokázala promítnout do vlastní implementace. Za jednu z výrazných předností Kateřiny Gajdůškové považuji její velmi zodpovědný a samostatný přístup k práci. Veškeré domluvené termíny a úkoly spolehlivě dodržovala, konzultace aktivně iniciovala a vždy na ně přicházela skvěle připravena. Ráda bych rovněž zdůraznila, že zvolené téma svým rozsahem i odbornou náročností přesahuje běžný rámec látky probírané v rámci studia. Výsledky diplomové práce budou prezentovány na konferenci PANM 23.

Celkově hodnotím práci známkou A.

Práce je psána velmi jasně a přehledně, s dobře strukturovaným textem. Obsahuje kvalitní teoretický úvod do problematiky a následně se soustředí zejména na implementační aspekty Kirchhoffových deskových prvků, které si autorka sama naprogramovala. To považuji za významné pozitivum – v dnešní době to není samozřejmost a jde o nejlepší způsob, jak numerickým metodám skutečně porozumět. Oceňuji také ověření implementace na příkladu s analytickým řešením, který je vždy nejlepším způsobem ověření správnosti. Krátký přehled alternativních přístupů je vhodným doplněním práce. Celkově může práce sloužit jako dobrý úvodní text pro studenty se zájmem o tuto oblast.

Jedinou výtkou je, že práce nepřináší nové teoretické výsledky; to však u diplomové práce není nutnou podmínkou.

Práci hodnotím, s ohledem na výše uvedené, známkou A (výborně).

Konkrétní poznámky

1. Autorka cituje výbornou Šolínovu práci (reference [11]), přesto je škoda, že není použita nebo zmíněna možnost použití tzv. ekonomické kvadratury, která u prvků vyšších řádů šetří výpočetní čas. Konkrétně na straně 34 je zmíněna kompozitní kvadratura o 3x3=9 bodech, identické přesnosti lze ale dosáhnout užitím 8-bodové ekonomické kvadratury (viz [11], tabulka 4.39).

2. Z dalších nekonformních prvků používaných v praxi bych zmínil Batozův DKQ čtyřúhelník, který na rozdíl od zde použitého Zienkiewiczova prvku funguje na obecné čtyřúhelníku [1], a podobně DKT trojúhelník od stejného autora. Matematicky velmi zajímavý je též nekonformní Spechtův prvek, kterého zmiňuje i Zienkiewicz na straně 132 v [13], který doporučuji k pozornosti, bude-li se autorka problematikou dále zabývat [2].

 

Literatura

[1] Batoz, J.-L., & Ben Tahar, M. (1982).Evaluation of a new quadrilateral thin plate bending element. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 18, 1655–1677.

[2] Specht, B. (1988).Modified shape functions for the three‑node plate bending element passing the patch test. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 26, 705–715. Topics for thesis defence:

1. V práci není zmíněn použitý lineární řešič. Který byl použit?
2. Tabulky 5.1-5.3 obsahují hodnoty h náhodné vždy různým násobitelem – zjemňování sítě je ale běžné provádět tak, že parametr h je vždy dělen 2. Jaký byl důvod? Byla použita mapovaná sít?
3. Závěrečnou úlohu jsem přepočítával pomocí prvků DKQ ve vlastním kódu, u výsledků jsem vyhodnocoval řád konvergence a nalezl jsem rozdíl u energetické normy, kde mi vyšel stejný řád konvergence jako u L2 normy roven 2, v práci je 1. Ponechávám k vzájemné diskuzi, nevím jestli rozdíl neleží v rozdílu prvků Zienkiewicz vs DKQ. N h=0.5/N L2-norm E-norm 10 0.05 0.004150647186953 0.305565462802324 25 0.02 0.000663389588367 0.048626563882972 50 0.01 0.000165830663474 0.012147097949293 100 0.005 0.000041453883271 0.003035985717426 Řád konvergence: p_L2=Log(0.000041453883271/0.000165830663474)/Log(0.5)=2.00013 p_E =Log(0.003035985717426/0.012147097949293)/Log(0.5)=2.00037