Bachelor's Thesis

Geometric principles of quantum computing

Final Thesis 470.87 kB

Author of thesis: Pavel Štancl

Acad. year: 2025/2026

Supervisor: doc. Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D.

Reviewer: doc. Mgr. Petr Vašík, Ph.D.

Abstract:

This bachelor thesis explores the basic concepts of quantum computing and its representation using complex geometric (Clifford) algebra. After an introduction to the standard formalism, a geometric framework is presented, unifying quantum states and transformations into a single mathematical apparatus. The functionality of both representations is verified using a sample algorithm. Subsequently, this framework is applied to topological quantum computing. The thesis aims to unify the standard and topological approaches within geometric algebra and explore the advantages of this geometric formalism.

Keywords:

Quantum computing, Geometric algebra, Clifford algebra, Topological quantum computing

Date of defence

09.06.2026

Result of the defence

Defended (thesis was successfully defended)

znamkaAznamka

Grading

A

Process of defence

Student přednesl prezentaci svojí bakalářské práce na téma Geometrické principy kvantového počítání. Dále zodpověděl otázky oponenta na implementaci a a komplexní strukturu GA. Byla provedena diskuze a ukázka kodu k implementaci a git repozitáře týkající se třetího cíle práce a vše velmi přehledně ukázal.

Language of thesis

Czech

Faculty

Fakulta strojního inženýrství

Department

Institute of Mathematics

Study programme

Mathematical Engineering (B-MAI-P)

Composition of Committee

doc. Mgr. Petr Vašík, Ph.D. (předseda)
doc. Mgr. Zuzana Hübnerová, Ph.D. (místopředseda)
doc. Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D. (člen)
Mgr. Jitka Zatočilová, Ph.D. (člen)
Ing. Pavel Loučka, Ph.D. (člen)

Supervisor’s report
doc. Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D.

Práce se zabývá matematickým aparátem základů kvantového počítání s přesahem do topologického kvantového počítání.  Druhá a třetí kapitola obsahují standardní popis kvantové informace a kvantového obvodu. Autor vychází z klasické monografie Nielsena, Chuang, Quantum Computation and Quantum Information.  Ve čtvrté kapitole autor prezentuje využití geometrických algeber pro popis kvantových obvodů. Využívá přitom komplexní geometrickou algebru založenou na fermionovém kalkulu. Tento přístup vychází z citovaných článků.

Nejzajímavější je pátá kapitola, ve které se diskutuje využití vybudovaného aparátu geometrických algeber na tvorbu logických bran pro topologické qubity typu Kitaevova řetízku s využitím provázkových grup (braiding group). To je zajímavý dosud příliš neprobádaný pohled na danou problematiku.

Celkově se jedná o velice pěkný text, který množstvím obsahu i hloubkou použitého aparátu výrazně překračuje požadavky kladené na bakalářskou práci.    
Evaluation criteria Grade
Splnění požadavků a cílů zadání A
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod A
Vlastní přínos a originalita A
Schopnost interpretovat dosažené výsledky a vyvozovat z nich závěry A
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii A
Logické uspořádání práce a formální náležitosti A
Grafická, stylistická úprava a pravopis A
Práce s literaturou včetně citací A
Samostatnost studenta při zpracování tématu A

Grade proposed by supervisor: A

Reviewer’s report
doc. Mgr. Petr Vašík, Ph.D.

Práce se zabývá kvantovým počítáním v řeči geometrických algeber (GA) s tím, že ukazuje univerzalitu GA i pro modely kvantového počítání s jinou fyzikální podstatou, tzv. topologické kvantové počítání. Tematika je velmi aktuální s jasným potenciálem pro teoretické zkoumání i pro aplikace při vývoji kvantových počítačů. Jedná se o multioborovou a teoreticky hlubokou práci, kde je na ilustrativních příkladech a výpočtech zřetelně vidět autorovo dobré chápání problematiky i souvislostí. 

Jedinou podstatnou výtku tak představuje neúplné naplnění bodu 3 ze zadání. Očekával bych uvedení zdrojového kódu nějakého algoritmu, v práci je ovšem jen demonstrativní výpočet jednoho kvantového obvodu. Nemyslím si, že by toto představovalo zásadní problém, ale přesto bych doporučil toto napravit při obhajobě.

Dále bych měl méně podstatné komentáře spíše stylistického charakteru, které jsou u práce tohoto typu běžné a obecně nesnižují její hodnotu.

- Příklad 4.3.1 by snesl komentář, ne jen zakončení výpočtu

- na začátku Kapitoly 4.3.2by bylo lepší napsat " budeme zavádět analogicky" spíše než identicky

- Definice 4.3 není v pravém smyslu definice a navíc by pro svoji technickou složitost snesla bližší vysvětlení

- strana 21, přetečení textu

- místy je rušivé používání operátorů f, f+ s indexy a bez indexu. Pouze z Příkladu 4.2.1 a 4.2.2 je pochopitelné, jak se značení používá. V případě přiřazení (5.2) a následného použití symbolu f bych ocenil komentář. 

- ve vztahu (5.4) není jasné, co jsou Pauliho matice z_1,...,Z_k-1, jsou všechny stejné? Stejně tak jednotkové matice.

- obecně místy chybí interpunkce ve výpočtech a matematických prostředích: strana 12, 13, 14, 15, ...

- Kapitola 5 trochu trpí nejasností některých pojmů a značení, převzatých z [13]. Například poslední vztah na straně 27 nepoužívá úplně běžné značení a samotný pojem Majoranův mód není jasně vysvětlen. Celá kapitola je psána poněkud volnějším jazykem (hermitovost, prohodit, došli bychom k výsledku apod.)
Evaluation criteria Grade
Splnění požadavků a cílů zadání B
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod A
Vlastní přínos a originalita A
Schopnost interpretovat dosaž. výsledky a vyvozovat z nich závěry A
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii A
Logické uspořádání práce a formální náležitosti A
Grafická, stylistická úprava a pravopis B
Práce s literaturou včetně citací A
Topics for thesis defence:
  1. Jaký algoritmus jste implementoval a v jakém jazyce?
  2. Jakou roli hraje vnitřní komplexní struktura GA zavedená pomocí operátoru J?

Grade proposed by reviewer: A

Responsibility: Mgr. et Mgr. Hana Odstrčilová