Hlavním cílem práce bylo zkoumat vybrané problémy z kvalitativní teorie diferenciálních rovnic v Banachových prostorech. Konkrétněji jde o tyto tři oblasti:
1) Analýza existence řešení počáteční úlohy pro zlomkové diferenciální rovnice v Banachových prostorech.
2) Analýza existence řešení počáteční úlohy pro dynamické rovnice na časových škálách v Banachových prostorech.
3) Analýza existence řešení s~předem danými asymptotickými vlastnostmi pro spočetné systémy diferenciálních rovnic.
Ve všech těchto oblastech byly odvozeny nové a dosti netriviální výsledky, které snesou srovnání s pracemi profesionálů.
Kvůli problémům s kompaktností jsou existenční úlohy pro rovnice v Banachových prostorech mnohem komplikovanější než analogické problémy pro běžné systémy rovnic. Autorovi se podařilo dokázat řadu zajímavých tvrzení. S~použitím axiomatické teorie míry nekompaktnosti a dalších pokročilých nástrojů odvodil nové a velmi obecné podmínky garantující existenci řešení počáteční úlohy pro rovnice v Banachových prostorech, a to jednak ve smyslu zlomkového kalkulu a dále ve smyslu kalkulu na časových škálách. Též úvahy týkající se asymptotické analýzy jsou v literatuře originální a představují slibný základ pro další výzkum. Součástí textu jsou i aplikace výsledků, a to v oblasti spočetných systémů rovnic (hojně studovaných v literatuře), které vznikají semidiskretizací zlomkových resp. dynamických parciálních rovnic.

Je potřeba zdůraznit, že důkazy hlavních tvrzení si vynutily odvození řady nových teoretických výsledků v různých oblastech, které najdou své využití i v širším kontextu, jde např. o vztahy mezi uvažovanou úlohou a integrální rovnicí, identity pro zlomkové operátory v Banachových prostorech, či kritéria relativní kompaktnosti v konkrétních prostorech. Díky velmi pečlivému přístupu též došlo k revizi nedokonalostí, které se běžně objevují v kalkulu na časových škálách. Pokud autor přebíral postupy z literatury, pak velmi invenčním přístupem, přičemž doplnil množství detailů, které v původních textech nebyly přítomny.

Vysokou úroveň práce podtrhují i následující skutečnosti. Výsledky z prvních dvou oblastí byly zpracovány ve formě dvou článků předložených do renomovaných časopisů (u obou je Dušan Oberta jediným autorem). Jeden z nich už byl přijat k publikaci a druhý prošel základním sítem a je v recenzním řízení. U prvního recenzenti ocenili mj. vysokou netriviálnost odvozených výsledků a také nebývalou pečlivost a systematičnost, s jakou byl článek připraven. Ostatně podobný charakter má i jeho diplomová práce. Text připravený na základě DP byl ohodnocen třetím místem v soutěži SVOČ. Dušan Oberta prezentoval některé výsledky na workshopu v Rzeszowe (Polsko), který byl organizován prof. Banásem, ústřední postavou teorie měr nekompaktnosti. Prezentované výsledky byly velice kladně přijaty.

Nakonec musím též vyzdvihnout autorovu samostatnost a schopnost se velmi rychle zorientovat v~nových partiích matematiky, které značně překračují rámec studijního programu.

Ze všech uvedených faktů vyplývá, že jde o nadprůměrnou diplomovou práci a limity všech kritérií, které vedou k hodnocení A, byly s rezervou překročeny.

Diplomová práce se zabývá obyčejnými diferenciálními rovnicemi v Banachových prostorech. Zaměřuje se zejména na otázku (lokální) existence řešení (klasická Peanova věta v případě těchto ODR obecně neplatí). Téma práce, které se z větší části opírá o pokročilé poznatky z funkcionální analýzy, považuji za vysoce netriviální.

Cíle diplomové práce byly bezpochyby splněny. Text je na mimořádně vysoké úrovni, přičemž se nejedná o (pouze) rešeršní práci. Kapitoly 3-5, které tvoří jádro, obsahují nové výsledky. Za zmínku stojí, že výsledky kapitol 3 a 4 byly zaslány k recenzi do respektovaných matematických žurnálů skrze dva články (jeden z nich již byl přijat k publikaci). Kromě toho práce obsahuje i některá vylepšení/zobecnění několika obecných tvrzení známých z literatury. Přínos práce je tedy nesporný.

Formální stránka práce je také velmi dobrá. Oceňuji vyzrálost při psaní matematického textu. Ten má jasnou logickou strukturu, jednotlivé pojmy a teorie jsou dobře vystavěny, typografie a angličtina jsou také na vysoké úrovni. Topics for thesis defence:

1. Aplikační sekce 3.7 a 4.6 pracují s úlohami, jejichž řešení mají hodnoty v Banachově prostoru c_0. Bylo by obtížné uvažovat i jiný prostor posloupností? Například, při semidiskretizační technice se typicky nabízí prostor ell^infty(Z).