Master's Thesis

Transcendental curves

Final Thesis 3.17 MB

Author of thesis: Bc. Konstantin Kokh

Acad. year: 2025/2026

Supervisor: prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c.

Reviewer: prof. RNDr. Josef Mikeš, DrSc.

Abstract:

Plane curves are classical objects in geometry and arise naturally in many applications.
They can be divided into two main groups: algebraic and transcendental curves. This
thesis studies transcendental curves and compares them with algebraic ones. The main
goal of the thesis is to
present a structured overview of the most important representatives of transcendental curves.
First, we recall basic tools from differential geometry, several methods for constructing
curves, and selected characteristics of algebraic curves. Then we introduce
transcendental curves and compare their properties with those of algebraic curves. The
main part of the thesis is devoted to a collection of classical transcendental curves,
including spirals, the catenary, the tractrix, the cycloid, the involute of a circle, and
the clothoid.
Although transcendental curves do not possess a general classification comparable to
that of algebraic curves, they form a rich class with their own characteristic properties.
The thesis shows that these curves are connected by recurring geometric constructions,
natural equations, curvature properties, and applications in geometry, mechanics, and
physics.

Keywords:

Plane curves, transcendental curves, algebraic curves, natural equation,
curvature, special curves.

Date of defence

08.06.2026

Result of the defence

Defended (thesis was successfully defended)

znamkaBznamka

Grading

B

Process of defence

Diplomant seznámil komisi s diplomovou prací. Oponent – prof. Mikeš – nebyl přítomen u obhajoby. Komise položila diplomantovi otázky k diplomové práci: Doc. Kureš položil dvě otázky: Jak se určí stupeň algebraické křivky. Jak můžeme z transcendentní parametrizace ověřit, zda je křivka algebraická nebo transcendentní. Student na otázky ne zcela uspokojivě odpověděl.

Language of thesis

English

Faculty

Department

Study programme

Mathematical Engineering (N-MAI-P)

Composition of Committee

doc. Mgr. Robert Mařík, Ph.D. (předseda)
doc. RNDr. Miroslav Kureš, Ph.D. (místopředseda)
doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D. (člen)
doc. Ing. Pavel Štarha, Ph.D. (člen)
doc. RNDr. Libor Žák, Ph.D. (člen)

Hlavním cílem práce bylo vytvořit knihovnu transcendentních křivek a porovnat jejich vlastnosti s vlastnostmi algebraických křivek. Tyto cíle jsou smysluplné, protože uvedená problematika jako celek není dobře pokryta odbornou literaturou.

Při popisu vlastností transcendentních křivek autor použil aparát klasické difererenciální geometrie křivek a ploch a rovněž vhodně uvedl do kontextu pojem transcendentní křivky se všeobecně známými pojmy transcendentního čísla a transcendentní funkce. 

Práce je psána v angličtině a její formální i jazyková úroveň je velmi dobrá. Výsledkem je ucelený text o transcendentních křivkách, který obsahuje jak definici a popis nejdůležitějších vlastností transcendentních křivek, tak i poměrně rozsáhlý výčet reprezentativních příkladů transcendentních křivek. U každého tohoto příkladu jsou uvedeny rovnice křivky, její konstrukce, hlavní vlastnosti a potenciální aplikace.

Závěrem konstatuji, že považuji cíle práce za splněné.
Evaluation criteria Grade
Splnění požadavků a cílů zadání A
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod B
Vlastní přínos a originalita C
Schopnost interpretovat dosažené výsledky a vyvozovat z nich závěry B
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii C
Logické uspořádání práce a formální náležitosti B
Grafická, stylistická úprava a pravopis A
Práce s literaturou včetně citací A
Samostatnost studenta při zpracování tématu C

Grade proposed by supervisor: B

Hlavním cílem diplomové práce bylo vytvořit přehlednou knihovnu transcendentních křivek, popsat jejich základní vlastnosti a porovnat je s vlastnostmi křivek algebraických. Autor se v práci věnuje jak obecnému zavedení pojmu transcendentní křivky, tak i vybraným reprezentativním příkladům, mezi něž patří zejména spirály, řetězovka, traktrix, cykloida, evolventa kružnice a klotoida.
Práce má logickou strukturu. Nejprve jsou připomenuty základní pojmy diferenciální geometrie křivek, dále jsou uvedeny metody konstrukce křivek a základní vlastnosti algebraických křivek. Zde by se dalo připomenout, že ve formuli před formulou (1.2) by měla být opuštěna absolutní hodnota, protože autor pracuje s orientovanou křivostí křivek. 
Na tento úvod navazuje hlavní část práce věnovaná transcendentním křivkám, jejich definici, srovnání s algebraickými křivkami a následně rozsáhlému souboru konkrétních příkladů.


Za pozitivní považuji zejména snahu autora vytvořit ucelený a přehledný text k tématu, které není v běžné literatuře zpracováno jednotným způsobem. U jednotlivých křivek jsou uvedeny jejich rovnice, geometrická konstrukce, základní vlastnosti a u vybraných případů také aplikace. Práce tak může sloužit jako užitečný přehledový materiál pro další studium klasické geometrie rovinných křivek.
Formální a grafická úroveň práce je dobrá. Text je psán v anglickém jazyce a je celkově srozumitelný. V práci se objevují drobné jazykové a formulační nedostatky, které však zásadně nesnižují její odbornou hodnotu. Práce s literaturou je přiměřená charakteru tématu.
Z hlediska vlastního přínosu je práce především kompilační a přehledová. Autor prokázal schopnost shromáždit, uspořádat a interpretovat větší množství poznatků z oblasti klasické geometrie křivek. Samostatnost při zpracování tématu hodnotím jako přiměřenou. Nepochybuje, že tato práce by byla přínosem I v českém jazyce, protože jsou v ní encyklopedicky shromážděny (nestandardní) vlastnosti uvedených křivek, které mají geometricko-fyzikální vlastnosti použitelné ve strojnictví a stavebnictví.
Závěrem konstatuji, že cíle diplomové práce byly splněny. Předloženou diplomovou práci doporučuji k obhajobě.
Evaluation criteria Grade
Splnění požadavků a cílů zadání A
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod B
Vlastní přínos a originalita C
Schopnost interpretovat dosaž. výsledky a vyvozovat z nich závěry B
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii B
Logické uspořádání práce a formální náležitosti B
Grafická, stylistická úprava a pravopis A
Práce s literaturou včetně citací B

Grade proposed by reviewer: B

Responsibility: Mgr. et Mgr. Hana Odstrčilová