Detail předmětu

Invarianty a symetrie

FSI-9ISYAk. rok: 2020/2021

Předmět je zaměřen na užití geometrických metod v problémech diferenciálních rovnic a fyziky. Studium symetrií a problémů s ekvivalencí vyžaduje řadu nástrojů a technik, z nichž mnohé mají svůj původ v diferenciální geometrii. Proto naše studium diferenciálních rovnic a variačních problémů bude mít v podstatě geometrický charakter, na rozdíl od analytických metod. Začneme diferenciálními varietami a Lieovými grupami, podstatná bude metoda pohyblivých reperů. Budeme se soustředit jak na globálně geometrický pohled, tak také i na výpočty v lokálních souřadnicích. Zvláštní pozornost bude věnována nelineárním problémům. Budeme studovat také kalibrační invarianty v souvislosti s Maxwellovými rovnicemi a dále s kvantovou teorií pole.

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Student bude mít přehled o základních pojmech a výsledcích moderní diferenciální geometrie. Bude schopen je využívat v problémech řešení diferenciálních rovnic, problémech variačního počtu a fyziky.

Prerekvizity

Znalosti z lineární algebry a algebry, zejména z vektorových prostorů a teorie grup.

Doporučená nebo povinná literatura

Olver, P. J., Equivalence, invariants and symmetry. Cambridge University Press, 1995 (EN)
Mansfield, E. L., A practical guide to the invariant calculus. Cambridge University Press, 2010 (EN)
Bocharov, A. V., Verbovetsky, A. M., Vinogradov, A. M., Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999 (EN)
Healey, Richard. Gauging what's real: The conceptual foundations of contemporary gauge theories. Oxford University Press on Demand, 2007

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.

Způsob a kritéria hodnocení

Ústní zkouška prověří znalosti základních pojmů a vět a praktickou dovednost při řešení geometrických a fyzikálních úloh.

Jazyk výuky

čeština, angličtina

Cíl

Cílem je zvládnout nástroje diferenciální geometrie pro řešení problémů invariance v aplikacích.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Přednášky: doporučené

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D4P-P doktorský

    obor D-APM , 1. ročník, letní semestr, 0 kreditů, doporučený

  • Program D-APM-K doktorský, 1. ročník, letní semestr, 0 kreditů, doporučený

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Hladké variety, vektorová pole
2. Distribuce a foliace
3. Lieovy grupy a algebry
4. Reprezentace
5. Jety a kontaktní elementy
6. Diferenciální invarianty
7. Symetrie diferenciálních rovnic
8. Vybrané nelineární problémy
9. Klasická a kvantová teorie pole
10. Kalibrační invarianty