Detail předmětu

Aplikovaná harmonická analýza

FSI-9AHAAk. rok: 2020/2021

Obecná teorie generujících systémů v Hilbertových prostorech: ortonormální báze (ONB), Rieszovy báze (RB), frejmy (angl frames) a reprodukční jádra.
Související operátory (rekonstrukční, diskretizační aj.). Vlastnosti a charakterizační věty. Kanonická dualita. Užitečné konstrukce a algoritmy založené na užití teorie pseudoinverzních operátorů. Speciální frejmy (Gabor, wavelet) a jejich aplikace.

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Získání základů z moderní teorie harmonické analýzy. Osvojení dovedností, které umožní studentům doktorského studia efektivní využití těchto přístupů při modelování a výzkumu reálných systémů s využitím výpočetní techniky.

Prerekvizity

Lineární algebra, diferenciální a integrální počet, lineární funkcionální analýza.

Doporučená nebo povinná literatura

V. Veselý a P. Rajmic. Funkcionálnı́ analýza s aplikacemi ve zpracovánı́ signálů, Odborná učebnice (4.vyd.). Vysoké učenı́ technické v Brně, Brno (CZ), 2019. ISBN 978-80-214-5186-5. (CS)
S.S. Chen, D.L. Donoho and M. Saunders: Atomic Decomposition by Basis Pursuit, SIAM J. Sci. Comput. 20 (1998), no. 1, 33–61, reprinted in SIAM Review, 43 (2001), no. 1, pp. 129–159. (EN)
Ch.Heil: A Basis Theory Primer, expanded edition, Birkhäuser, New York, 2011 (EN)
G.G. Walter: Wavelets and other orthogonal systems with Applications, CRC Press, Boca Raton, Florida, 1994. (EN)
O. Christensen: An Introduction to Frames and Riesz bases. Birkhäuser 2003 (EN)
Ch. K. Chui: An Introduction to wavelets, Wavelet Analysis and Its Applications, vol. 1, Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1992. (EN)
A. Teolis: Computational Signal processing with wavelets. Birkhäuser 1998 (EN)
I. Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, Ingrid Daubechies, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, vol. 61, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1992. (EN)
Y. Meyer: Wavelets and operators, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 37, Cambridge University Press, Cambridge, 1992. (EN)
H. G. Feichtinger (ed.) and T. Strohmer (ed.), Gabor analysis and algorithms. Theory and applications, Applied and Numerical Harmonic Analysis, Birkhäuser, Boston-Basel-Berlin, 1998 (EN)

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek nebo seminářů zaměřených na vybraná témata dané disciplíny.

Způsob a kritéria hodnocení

Seminární referáty nebo ústní zkouška.

Jazyk výuky

čeština, angličtina

Cíl

Seznámit posluchače doktorského studia s posledními výsledky moderní harmonické analýzy a možnostmi jejich využití při řešení praktických úloh funkcionálního modelování v abstraktních prostorech, zejména l^2(J) (prostory diskrétních signálů včetně obrazů), L^2(R) (prostory analogových signálů) a L^2(Omega;A;P) (stochastické lineární modely časových řad). Pozornost bude také věnována problematice hledání numericky stabilních řídkých řešení v modelech s velkým množstvím parametrů.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Při nepřítomnosti nutnost doplnit probíranou látku samostudiem případně domácími úkoly.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D4P-P doktorský

    obor D-APM , 1. ročník, letní semestr, 0 kreditů, doporučený

  • Program D-APM-K doktorský, 1. ročník, letní semestr, 0 kreditů, doporučený

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

Volitená témata dle zaměření doktorského studia studentů:
1. Pseudoinverzní operátory v Hilbertových prostorech
2. Přechod od ortonormálních bází (ONB) k Rieszovým bázím (RB) a frejmům
3. Diskretizační, rekonstrukční, korelační a frejmový operátor
4. Charakterizace ONB, RB a frejmů. Princip duality
5. Hilbertovy prostory s reprodukčním jádrem
6. Vybrané algoritmy řešení inverzních úloh, problém numerické nestability při přeparametrizování (overcomplete frames)
7. Některé speciální prostory a jejich vlastnosti
8. Některé speciální operátory a jejich vlastnosti
9. Gaborovy frejmy
10. Waveletové frejmy
11. Analýza víceúrovňového rozlišení (angl. Multiresolution analysis)
12. Rezerva
Seminář: formou referátů studentů k tématům přidělených k samostudiu pokud možno ve vazbě na téma dizertační práce