Detail předmětu

Matematika III

FSI-3M-AAk. rok: 2020/2021

Předmět má seznámit studenty se základy teorie nekonečných řad a se základními pojmy a metodami řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Tyto poznatky tvoří nezbytný teoretický základ pro studium fyzikálních a inženýrských disciplin. Předmět zahrnuje následující témata:
Nekonečné řady. Číselné řady. Funkční řady. Mocninné řady.
Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady. Fourierovy řady a rozvoje funkcí ve Fourierovy řady.
Obyčejné diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu.
Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu.
Parciální diferenciální rovnice. Klasifikace.

Zajišťuje ústav

Nabízen zahradničním studentům

Všech fakult

Výsledky učení předmětu

Studenti získají po absolvování předmětu znalosti o základních typech
diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách se seznámí s konstrukcí
diferenciální rovnice jako matematického modelu dané úlohy, s problémy
existence a jednoznačnosti jejího řešení a s výběrem vhodné metody
řešení. Naučí se posuzovat otázky konvergence nekonečných řad
a možnosti rozvojů funkcí v Taylorovy a Fourierovy řady.

Prerekvizity

Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkce jedné a více proměnných.

Doporučená nebo povinná literatura

Fichtengolc, G.M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom II, Moskva, 1966.
Čermák, J., Ženíšek, A.: Matematika III, Brno, 2001.
Fichtengolc, G.M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom III, Moskva, 1966.
Ženíšek, A.: Vybrané kapitoly z matematické analýzy, Brno, 1997.
Čermák, J.: Sbírka příkladů z Matematické analýzy III a IV, Brno, 1998.
Hartman, P.: Ordinary Differential Equations, New York, 1964.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení

Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení. Splnění všech
podmínek průběžné kontroly znalostí. Získání minimálně poloviny všech možných 20 bodů
z obou kontrolních prací. Pokud student tuto podmínku
nesplní, lze v odůvodněných případech stanovit podmínku náhradní.

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost
jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení
příkladů. Zkouška je písemná (příp. i ústní). Písemná zkouška se skládá zejména z početních příkladů týkajících se následujících témat: Číselné a funkční řady, rozvoj dané funkce do Taylorovy řady, řešení ODR 1. řádu, řešení lineární ODR vyššího řádu, řešení soustavy lineárních ODR 1. řádu, Fourierovy řady, řešení ODR metodou nekonečných řad a pomocí Laplaceovy transformace, okrajové úlohy, základy teorie PDR. Do písemné části jsou zařazeny též (teoretické) otázky týkající se základních pojmů.
Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek písemné zkoušky (maximálně 75 bodů), hodnocení ze cvičení (maximálně 20 bodů) a hodnocení ze cvičení s počítačovou podporou (maximálně 5 bodů).
Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře
(80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).

Jazyk výuky

angličtina

Cíl

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami
řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic a se
základy teorie nekonečných řad. Úkolem předmětu je ukázat, že
poznatky z teorie diferenciálních rovnic se uplatňují zejména
ve fyzice a technických vědních oborech, a že základní znalosti
nekonečných řad jsou předpokladem při řešení rozličných úloh.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Číselné řady. Základní pojmy. Kritéria konvergence.
2. Operace s číselnými řadami. Funkční řady. Základní vlastnosti.
3. Mocninné řady. Taylorovy řady a rozvoje funkcí v mocninné řady.
4. Trigonometrické Fourierovy řady. Otázky konvergence a rozvoje funkcí.
5. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR). Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro ODR 1. řádu. Analytické metody řešení vybraných typů ODR 1. řádu.
6. ODR vyššího řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro ODR vyššího řádu. Obecné řešení homogenní a nehomogenní lineární rovnice. Metody řešení homogenní lineární ODR vyššího řádu s konstantními koeficienty.
7. Metody řešení nehomogenní lineární ODR vyššího řádu s konstantními koeficienty.
8. Soustavy ODR 1. řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro soustavy ODR 1. řádu. Obecné řešení homogenní a nehomogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
9. Metody řešení homogenních soustav lineárních ODR 1. řádu s konstantními koeficienty.
10. Metody řešení nehomogenních soustav lineárních ODR 1. řádu s konstantními koeficienty.
11. Laplaceova transformace a její užití při řešení lineární ODR vyššího řádu. Využití mocninných řad při řešení ODR.
12. Stabilita řešení ODR a jejich systémů. Okrajové úlohy pro ODR 2. řádu. Parciální diferenciální rovnice. Základní pojmy. Rovnice matematické fyziky.
13. Matematické modelování pomocí diferenciálních rovnic.

Cvičení

39 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Limity a integrály-opakování.
2. Číselné řady.
3. Funkční a mocninné řady.
4. Taylorovy řady.
5. Fourierovy řady.
6. Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
7. Pokračování předcházejícího cvičení.
8. Homogenní lineární ODR vyššího řádu.
9. Nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
10. Laplaceova transformace při řešení lineárních ODR.
11. Homogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
12. Nehomogenní soustavy lineár. ODR 1. řádu.
13. Fourierova metoda řešení PDR.

Cvičení s počítačovou podporou

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

Probíhá na bázi programu MAPLE v počítačové učebně. Tento typ výuky je zaměřen na počítačovou podporu zejména následujících témat: 1. Opakování a prohloubení základních dovedností v MAPLE. 2. Funkční řady - grafické ilustrace typů konvergence u probíraných řad (se zaměřením na řady Taylorovy a Fourierovy). 3. ODR1 - geometrická interpretace jednotlivých typů řešení, grafické metody řešení (směrová pole). 4. ODR1 - aplikace (ortogonální trajektorie a další). 5. ODRn - grafická interpretace řešení, metoda Taylorových řad. 6. Soustavy ODR1 - grafická interpretace řešení, fázový portrét řešení. 7. PDR - vybrané metody řešení.

eLearning