Detail předmětu

Matematická logika

FSI-SML-AAk. rok: 2020/2021

V předmětu budou systematicky vyloženy základy výrokové a predikátové logiky. Nejprve budou studenti seznámeni se syntaxí a sémantikou těchto logik, pak budou logiky studovány jako formální teorie s důrazem na problematiku dokazování formulí. Prodiskutovány budou také klasické věty o korektnosti, úplnosti a kompaktnosti. Po probrání převodu formulí na prenexní tvar budou uvedeny některé vlastnosti a modely teorií 1. řádu. Pozornost bude také věnována nerozhodnutelnosti teorií 1. řádu vyplývající ze známých Gödelových vět o neúplnosti.

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Po absolvování předmětu získají studenti schopnost chápání principů axiomatických matematických teorií i schopnost přesného (formálního) matematického vyjadřování. Naučí se také formálně odvozovat nové formule a dokazovat formule dané. Uvědomí si efektivitu formálního uvažování, ale také jeho hranice.

Prerekvizity

Předpokládá se znalost předmětů Obecná algebra a Metody diskrétní matematiky z balkalářského studia.

Doporučená nebo povinná literatura

E.Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Chapman&Hall, 2001 (EN)
A. Nerode, R.A. Shore, Logic for Applications, Springer-Verlag 1993 (EN)

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení

Podmínkou pro zápočet je aktivní účast ve cvičeních a prokázání znalostí
při písemných testech, které budou průběžně konány. Zkouška proběhne písemnou formou a je třeba u ní prokázat zvládnutí probrané teorie a schopnost řešit zadaný problém na základě získaných vědomostí.

Jazyk výuky

angličtina

Cíl

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními metodami uvažování v matematice. Studenti by si měli osvojit obecné principy predikátové logiky a získat tak schopnost přesného matematického uvažování a vyjadřování. Také by se měli naučit pracovat s některými dalšími důležitými formálními teoriemi využívanými v matematice a informatice.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Cvičení jsou povinná a vyučující bude pravidelně kontrolovat účast. V případě omluvené nepřítomnosti budou studentovi zadány příklady tak, aby se mohl zameškanou látku doučit.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program M2A-A magisterský navazující

    obor M-MAI , 2. ročník, letní semestr, 5 kreditů, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Úvod do matematické logiky
2. Výroky a jejich pravdivost, logické spojky
3. Jazyk, formule a sémantika výrokové logiky
4. Princip duality, aplikace výrokové logiky
5. Formální systém výrokové logiky
6. Dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti
7. Jazyk predikátové logiky, termy a formule
8. Sémantika predikátové logiky
9. Formální systém predikátové logiky 1. řádu
10. Dokazatelnost v predikátové logice,
11. Prenexní tvar formulí, teorie 1. řádu a jejich modely
12. Věta o úplnosti a o kompaktnosti
13. Nerozhodnutelnost teorií prvního řádu, Gödelovy věty o neúplnosti

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Výroky, výrokové spojky, pravdivostní tabulky, tautologie a kontradikce
2. Princip duality, aplikace výrokové logiky
3. Úplné systémy a báze spojek výrokové logiky
4. Nezávislost logických spojek, axiomy výrokové logiky
5. Věta o dedukci a dokazování formulí výrokové logiky
6. Termy a formule predikátové logiky
7. Interpretace, splnitelnost a pravdivost
8. Axiomy a odvozovací pravidla predikátové logiky
9. Věta o dedukci a dokazování formulí v predikátové logice
10.Převody formulí na prenexní tvar
11.Teorie 1. řádu a jejich modely
12. Věta o úplnosti a o kompaktnosti
13. Nerozhodnutelnost teorií prvního řádu, Gödelovy věty o neúplnosti

eLearning