Detail předmětu

Mechanika kontinua

FSI-S1K-AAk. rok: 2026/2027

Základní pojmy mechaniky kontinua, tělesa, pohyby, konfigurace. Základy teorie konečných deformací. Transportní teorém. Cauchyho I. a II. zákon mechaniky kontinua. Rovnice geometrické, rovnice kompatibility, okrajové podmínky. Termodynamické základy teorie konstitutivních vztahů. Modely pružného chování. Hyperelastický materiál. Izotropní a anizotropní tělesa. Zahrnutí vlivu tepelné roztažnosti. Klasická formulace základních úloh pružnosti pomocí diferenciálního přístupu. Deformační a přírůstková teorie plasticity. Variační principy v teorii malých deformací.Variační formulace základních okrajových úloh pružnosti. Slabé řešení. Osově symetrické úlohy. Rovinná deformace, rovinná napjatost. Řešení úloh rovinné pružnosti v napětích. Airyho funkce napětí. Základy teorie desek a skořepin. Základy lomové mechaniky. Poznámky k Ritzově metodě a k MKP v úlohách mechaniky kontinua.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

4

Garant předmětu

doc. Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky (ÚMTMB)

Nabízen zahraničním studentům

Všech fakult

Vstupní znalosti

Z oblasti mechaniky: Znalost základních pojmů pružnosti a pevnosti (napětí, hlavní napětí, deformace, přetvoření, Hookův zákon). Principy virtuálních posunutí a princip virtuálních prací.
Z oblasti matematiky: Parciální diferenciální rovnice 2. řádu. Základy variačního počtu. Základy funkcionální analýzy (funkcionální prostory, Hilbertův prostor L2).

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Požadavky pro zkoušku:
- písemný přehledový test základních znalostí a pojmů
- písemné řešení 3 příkladů
- ústní diskuse nad písemnými materiály s případnou doplňkovou otázkou
Podmínky k udělení zápočtu:
- aktivní účast na cvičeních
- dobré výsledky průběžné kontroly základních znalostí
- vyřešení náhradních úloh v případě omluvené neúčasti
Konkrétní podobu splnění těchto požadavků stanovuje vedoucí cvičení v prvním týdnu semestru
Účast na cvičení je povinná. Vedoucí cvičení provádějí průběžnou kontrolu přítomnosti studentů, jejich aktivity a základních znalostí. Neomluvená neúčast je důvodem k neudělení zápočtu. Jednorázovou neúčast je možno nahradit zadáním náhradních úloh, delší neúčast se nahrazuje vypracováním náhradních úloh podle pokynů cvičícího.

Učební cíle

Cílem předmětu Mechanika kontinua I je seznámit posluchače se základními pojmy a vztahy kontinuální mechaniky pevné fáze a způsoby formulace a řešení okrajových úloh pružných a pružně plastických těles. Vedle klasické formulace úloh je kladen důraz také na variační formulaci problémů v návaznosti na další numerické řešení. Dalším cílem je pochopení základů teorie konečných deformací a konstitutivních rovnic, což skýtá lepší orientaci při aplikaci pokročilých systémů MKP umožňujících modelovat složité děje s uvažováním velkých přetvoření a nelineárních vlastností materiálů.
Studenti získají poznatky o základních metodách stanovení napjatosti a deformace u obecných těles, vycházejících z diferenciálního a variačního přístupu. Poznatky o fyzikální podstatě variační formulace úloh mechaniky kontinua umožňují v návaznosti na předmět Numerické metody III zvolit vhodnou metodiku přípravy numerického výpočtu. Osvojení základů teorie
konstitutivních rovnic vede k dobré orientaci mezi rozličnými materiálovými modely. Důležité jsou rovněž poznatky o negativním vlivu trhlin na životnost těles s trhlinami.

Základní literatura

http://www.old.umt.fme.vutbr.cz/~tprofant/vyuka.html#continuum-mechanics (EN)

Doporučená literatura

Muskhelishvili, N.I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticity, Springer Dordrecht, 1977. (EN)
Oden, J.T., Mechanics of elastic structures, McGraw-Hill, 1967. (EN)
Reddy, J.N., Energy principles and variational methods in applied mechanics, John Wiley & Sons, 2017. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-AIM-A magisterský navazující 2 ročník, zimní semestr, volitelný
  • Program N-MAI-A magisterský navazující 2 ročník, zimní semestr, volitelný
  • Program N-ENG-Z magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, doporučený kurs

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Osnova

1. Kinetika - napětí v bodě,
2. Kinematika - deformace v bodě.
3. Zákony termodynamiky.
4. Zobecněný Hookův zákon, hustota deformační energie, termoelastické konstitutivní rovnice.
5. Okrajové úlohy mechaniky kontinua, existence a jednoznačnost řešení, rovnice namáhání prutů tahem, ohybem, krutem a rovinná pružnost.
6. Izotropní rovinná pružnost - Muschelišviliho komplexní potenciály, a jejich aplikace v lomové mechanice.
7. Anizotropní rovinná pružnost - LES formalismus, a jeho aplikace v lomové mechanice.
8. Práce a energie, deformační energie a doplňková deformační energie, Hamiltonův princip.
9. Metoda vituálního posunutí, virtuálního zatížení, Castiglianova první a druhá věta, Bettiho a Maxwellovy věty o vzájemnosti prací.
10. Přímé variační metody - Ritzova a Galerikinova metoda.
11.-12. Metoda konečných prvků.
13. Diskuse a závěr semestru.

Cvičení

39 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Osnova

Kinematické veličiny mechaniky kontinua.
Tenzory napětí. Hlavní napětí, invarianty. Bilanční rovnice.
Konstitutivní rovnice v mechanice kontinua. Termodynamické zákony.
Hyperelastický materiál. Neo-Hookeův zákon, Mooney-Rivlinův zákon. Hookeův zákon pro izotropní a anizotropní tělesa.
Vybrané úlohy lineární 3D pružnosti.
Variační metody v teorii malých deformací.
Základní veličiny mechaniky kontinua v křivočarých souřadnicích.
Osově symetrické úlohy lineární pružnosti.
Řešení rovinných úloh pomocí Airyho funkce napětí.
Kruhové a mezikruhové desky.
Momentová válcová skořepina.
Rotačně symetrická membránová skořepina.
Vybrané jednoduché úlohy z teorie plasticity.
Numerické metody v úlohách pružnosti. Zápočet.